chứng minh phản chứng a^4 + b^4 c^2 >= 2a(ab^2-a+c+1) với mọi a,b,c
Mọi người giúp mình bài nay với. Mai mình nộp bài mà mình lại học toán hơi kém tí. Thanhks trước.
Bài 1: cho a, b, c thuộc R.
Chứng minh a2 + b2 + c2 >= ab+ac+bc
Bài 2:cho a, b, c >0.
Chứng minh (bc/a)+(ac/b)+(ab/c)>= a+b+c
Bài 3: cho a, b, c thoả mãn a+b=c.
Chứng minh a4 +b4 +c4 =2a2b2 +2b2c2 + 2a2c2
1) a2 +b2 +c2>= ab +bc +ca <=> 2a2 +2b2 +2c2 >=2ab +2bc +2ca <=> 2a2 +2b2 +2c2 -2ab -2bc -2ca >= 0
<=> (a -b)2 +(b -c)2 + (c -a)2 >= 0 (bđt đúng với mọi a, b, c)
2) Áp dụng bđt Cauchy với a, b, c > 0 ta có :
\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{bc.ab}{ac}}=2b\)
tương tự : \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\); \(\frac{ca}{b}+\frac{bc}{a}\ge2c\)
Cộng từng vế 3 bđt trên suy ra đpcm
3) Từ gt a a +b =c => a +b -c =0 => (a +b -c)2 = 0 => a2 +b2 +c2 +2ab -2bc -2ca = 0
=> a2 +b2 +c2 = 2bc + 2ca -2ab => (a2 +b2 +c2)2 = (2bc +2ca -2ab)2
=> a4 +b4 +c4 +2a2b2 +2b2c2 +2c2a2 = 4b2c2 +4c2a2 +4a2b2 +4abc2-4a2bc - 4ab2c
=> a4 +b4 +c4 -2a2b2 -2b2c2 -2c2a2 = 4abc(c -a -b) = 4abc.0 =0
Vậy a4 +b4 +c4 = 2a2b2 +2b2c2 +2c2a2
Mọi người giúp mình bài nay với. Mai mình nộp bài mà mình lại học toán hơi kém tí. Thanhks trước.
Bài 1: cho a, b, c thuộc R.
Chứng minh a2 + b2 + c2 >= ab+ac+bc
Bài 2:cho a, b, c >0.
Chứng minh (bc/a)+(ac/b)+(ab/c)>= a+b+c
Bài 3: cho a, b, c thoả mãn a+b=c.
Chứng minh a4 +b4 +c4 =2a2b2 +2b2c2 + 2a2c2
MẤY BẠN GIẢI NHANH GIÚP MÌNH MẤY BÀI TOÁN KHÓ NÀY NHA, MAI MÌNH ĐẾN HẠNG NỘP RỒI:
a) Cho a,b,c >0 thỏa 1/a+1/c=2/b. Chứng ming (a+b)/(2a-b)+ (b+c)/(2c-b) >=4
b) cho a,b >0 và a+b<=1. Chứng minh 1/(a^2+ab) + 1/(b^2+ab) >=4
c) cho a,b,c>0. Chứng minh (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)>=9abc
a)Chứng minh rằng với mọi a và b thì
a^4 - 2a^3b+2a^2b^2 - 2ab^3+ b^4 lớn hơn hoăc bằng 0
b) Cho a^2 = b^2+c^2. Chứng minh rằng (5a - 3b+ 4c)(5a - 3b - 4c) lớn hơn hoặc bằng 0
Mọi người ơi, giải giúp tôi 2 câu toán này với!
Câu 1: Cho a/b = c/d - Chứng minh rằng b + 2a / a = d + 2c / c
Câu 2: Cho a/2 = b/3 = c/4 - Chứng minh rằng: a2 - b2 + 2 . c2 = 108
Mình cảm ơn mọi người rất nhiều!!!
Chứng minh các bất đẳng thức sau
a+1/c (a-b)(b-c)>=4 (mọi a,b,c>0)a+27/2 (a-1)(a+1)^3>=5/2 (mọi a>1)2a+1/(a-b)(b-c)(a+1)^3>=4 (mọi a>b>c>0)Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực khác không x, y ta có:
\({x^2\over y^2} + {y^2\over x^2} + 4 ≥ 3({x\over y} + {y\over x})\)
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực x,y ta có:
\(xy(x-2)(y+6)+12x^2-24x+3y^2+18y+36>0\)
Bài 3: Cho x,y,z thuộc R. Chứng minh rằng:
\(1019x^2+18y^4+1007z^2\geq 30xy^2+6y^2z+2008zx\)
Bài 4: Cho a,b>=4. Chứng minh rằng: \(a^2+b^2+ab>=6(a+b)\)
Bài 5:Cho x,y>=1. Chứng minh rằng: \(x\sqrt {y-1}+y \sqrt {x-1} \leq xy\)
Bài 6: Cho x,y>=1. Chứng minh rằng: \({1\over 1+x^2}+{1\over 1+y^2}\geq {2\over 1+xy}\)
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b ta có:
\(2(a^4+b^4)\geq ab^3+a^3b+2a^2b^2\)
Bài 8: Cho hai số thực x,y khác không. Chứng minh rằng:
\({4x^2y^2\over (x^2+y^2)^2}+{x^2\over y^2}+{y^2\over x^2}\geq 3\)
Bài 9: Cho các số thực a,b cùng dấu. Chứng minh bất đẳng thức:
\(({(a^2+b^2)\over 2})^3\leq({(a^3+b^3)\over 2})^2\)
Bài 10: Cho các số thực dương a,b. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
\({a^2b\over(2a^3+b^3)}+{2\over 3} \leq {(a^2+2ab)\over (2a^2+b^2)}\)
Bài 11: Cho các số thực a,b không đồng thời bằng 0. Chứng minh:
\({2ab\over (a^2+4b^2)}+{b^2\over (3a^2+2b^2)}\leq {3\over 5}\)
@Akai Haruma
Bài 1. Áp dụng BĐT : ( x - y)2 ≥ 0 ∀xy
⇒ x2 + y2 ≥ 2xy
⇔ \(\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}\) ≥ 2
⇔ \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\) ≥ 2
⇒ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)) ≥ 6 ( 1)
CMTT : \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\) ≥ 2
⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ \(6\) ( 2)
Từ ( 1 ; 2) ⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\))
Đẳng thức xảy ra khi : x = y
Bài 4. Do : a ≥ 4 ; b ≥ 4 ⇒ ab ≥ 16 ( * ) ; a + b ≥ 8 ( ** )
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a2 + b2 ≥ 2ab = 2.16 = 32 ( *** )
Từ ( * ; *** ) ⇒ a2 + b2 + ab ≥ 16 + 32 = 48 ( 1 )
Từ ( ** ) ⇒ 6( a + b) ≥ 48 ( 2)
Từ ( 1 ; 2 ) ⇒a2 + b2 + ab ≥ 6( a + b)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 4
Thành Trương: bạn có thể gõ cụ thể công thức ra được không?
HÃY CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC SAU :
1 ( a+b)^2 > 4ab với mọi a,b
2 cho a<b . cmr : 3-b/2 < 4- a/2
3 a^2 + b^2 + c^2 > ab + bc + ca với mọi a,b,c
4 a ( a-b) + b ( b-c) + c ( c-a) > 0 với mọi a,b,c
5 a^2 + b^2 + c^2 > 1/3 với a+b+c =1
1. (a+b)^2 ≥ 4ab
<=> a2+2ab+b2≥ 4ab
<=> a2+2ab+b2-4ab≥ 0
<=> a2-2ab+b2≥ 0
<=> (a-b)^2 ≥ 0 ( luôn đúng )
2. a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0
<=> (a^2- 2ab+b^2) + (b^2-2bc+c^2) + (c^2-2ca+a^2) ≥ 0
<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥ 0 ( luôn đúng)
Cho a=b=c. Chứng minh các đẳng thức: a)a^4+b^4+c^4=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=2(ab+bc+ca)^2=(a^2+b^2+c^2)^2/2
Ta có a+b+c=0=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0
=>a2+b2+c2=-2(ab+bc+ca)=>(a2+b2+c2)2=(-2ab-2bc-2ca)2
=>a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2=4a2b2+4b2c2+4c2a2+4abc(a+b+c)=4a2b2+4b2c2+4c2a2(Do a+b+c=0)
=>a4+b4+c4= 2(a2b2+b2c2+c2a2)
Với các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3abc, chứng minh rằng:
\(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4>=3a^4b^4c^4\)
Với các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^5}{bc^2}+\frac{b^5}{ca^2}+\frac{c^5}{ab^2}>=a^2+b^2+c^2\)
Với các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^3}{\left(b+2c\right)^2}+\frac{b^3}{\left(c+2a\right)^2}+\frac{c^3}{\left(a+2b\right)^2}>=\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)\)
\(\Sigma_{sym}a^4b^4\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}a^2b^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}ab\right)^4}{27}\ge\frac{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)^2}{3}=3a^4b^4c^4\)
\(\Sigma\frac{a^5}{bc^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^4}{abc\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^6\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc\left(a+b+c\right)^3}\)
\(\ge\frac{\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc}=a^2+b^2+c^2\)
\(\frac{a^3}{\left(b+2c\right)^2}+\frac{b+2c}{27}+\frac{b+2c}{27}\ge\frac{a}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^3}{\left(b+2c\right)^2}\ge\frac{1}{3}a-\frac{2}{27}b-\frac{4}{27}c\)
tương tự rồi cộng lại