B1 a, a^3 - a = a.(a^2-1) = (a-1).a.(a+1) chia hết cho 3 

b, a^7-a = a.(a^6-1) = a.(a^3-1).(a^3+1)

Ta thấy số lập phương khi chia 7 dư 0 hoặc 1 hoặc 6

+Nếu a^3 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7

+Nếu a^3 chia 7 dư 1 thì a^3-1 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7

+Nếu a^3 chia 7 dư 6 => a^3+1 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7

Vậy a^7-a chia hết cho 7

b,  a^7-a=a(a^6-1) 
=a(a^3+1)(a^3-1) 
=a(a+1)(a^2-a+1)(a-1)(a^2+a+1) 
=a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1) 
=a(a-1) (a+1) (a^2-a+1-7) (a^2+a+1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
=a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) 
có: 7a(a-1) (a+1) (a^2+a-1)+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) chia hết cho 7 (cùng có nhân tử 7) 
ta cần chứng minh: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) chia hết cho 7 
thật vậy: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
=a(a-1) (a+1) [(a+2)(a-3)] [(a-2)(a+3)] 
=(a-3) (a-2) (a-1) a (a+1) (a+2) (a+3) là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7. 
trong 7 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 7,1 số dư 1,1 số dư 2,....và 1 số dư 6 khi chia cho 7 

a^7-a=a(a^6-1) 
=a(a^3+1)(a^3-1) 
=a(a+1)(a^2-a+1)(a-1)(a^2+a+1) 
=a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1) 
=a(a-1) (a+1) (a^2-a+1-7) (a^2+a+1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
=a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) 
có: 7a(a-1) (a+1) (a^2+a-1)+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) chia hết cho 7 (cùng có nhân tử 7) 
ta cần chứng minh: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) chia hết cho 7 
thật vậy: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
=a(a-1) (a+1) [(a+2)(a-3)] [(a-2)(a+3)] 
=(a-3) (a-2) (a-1) a (a+1) (a+2) (a+3) là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7. 
trong 7 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 7,1 số dư 1,1 số dư 2,....và 1 số dư 6 khi chia cho 7 

b, với m lẻ từ hằng đẳng thức đáng nhớ ta có 
a^m+b^m=(a+b) {a^(m-1)-[a^(m-2)]b+...-a.[b^(m-2)]+b^(m... chia hết cho a+b 
 

Ta có :

\(\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2.2}<\frac{1}{1.2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{3^2}=\frac{1}{3.3}<\frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)         

  \(\frac{1}{4^2}=\frac{1}{4.4}<\frac{1}{3.4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\)

.......................

\(\frac{1}{100^2}=\frac{1}{100.100}<\frac{1}{99.100}=\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

Cộng vế với vế , ta được :

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}<\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}\)

Vì 99 < 100 nên \(\frac{99}{100}<1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}<1\left(đpcm\right)\)

1/2^2 < 1/(1.2)= 1-1/2 
1/3^2 <1/(2.3)=1/2-1/3 
1/4^2 <1/(3.4)=1/3-1/4 
...... 
1/100^2 < 1/99-1/100 
cộng vế với vế ta được 1/2^2 +1/3^2+...+1/100^2< 1-1/2+1/2-1/3+....+1/99-1/100=1-1/100 

=>1/2^2 +1/3^2+...+1/100^2<1
=> ĐPCM

Ta có:\(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2.3};............;\frac{1}{100^2}<\frac{1}{99.100}\)

=>\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+.............+\frac{1}{100^2}\)\(<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+............+\frac{1}{99.100}\)

Mà \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+.............+\frac{1}{99.100}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+.............+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(=1-\frac{1}{100}<1\)

Vậy \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+.............+\frac{1}{100^2}<1\)

a, A= 2 + 2² + 2³ +...+ 2¹⁰⁰

A= ( 2+2² ) + ( 2³+2⁴ ) +...+( 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ )

A= 6+ 2² ( 2+2²)+ ...+ 2⁹⁸ (2+2²)

A=6+ 2².6+ ...+ 2⁹⁸.6

A= 6.(2²+...+2⁹⁸) chia hết cho 3 ( vì 6 chia hết cho 3)

a: \(A=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{99}\left(1+2\right)\)

\(=3\left(2+2^3+...+2^{99}\right)⋮3\)

b: \(A=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{97}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)

\(=15\left(2+2^5+...+2^{97}\right)⋮5\)

4:3 => tứ chia tam => tám chia tư => 8:4=2

4 : 3 = tứ chia tam = tám chia tư = 2

rất rễ hỉu và rất ngắn gọn duyệt mk nha

4:3=8:4=2

Xin lỗi  đang còn thiếu nhưng máy tính ở nhà ko viết được

mệt quá

a)Ta có:S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 +...+2^199+ 2^200.

=( 2^1 + 2^2) + (2^3 + 2^4) + (2^5+2^6)+...+(2^197+2^198)+(2^199+2^200).

=2.(1+2)+2^3.(1+2)+2^5.(1+2)+...+2^197.(1+2)+2^199(1+2)

=2.3+2^3.3+2^5.3+...+2^197.3+2^199.3

=3.(2+2^3+2^5+...+2^197+2^199)

Vậy tổng S chia hết cho 3.

Xin lỗi bn,mik o làm kịp

S chia hết cho 3

ta có S = (2+2^2)+(2^3 + 2^ 4)+....+2^199x(1+2)chia hết cho 3

S = 2x(1+2) + 2^3x(1+2)+....+2^199x(1+2)

S=2 x 3+2^3x3+...+2^199 x 3 

Suy ra S chia hết cho 3

Cũng thế ta có

(2+2^2+2^3+2^4)+....+(2^197+2^198+2^199+2^200)=2x15+...+2^197x15vif 15 x bất kì số nào thì sẽ chia hết cho 5

ta gọi các chữ số là tập hợp A

A={5;15;25;35....}

a) \(B=3+3^2+3^3+...+3^{120}\)

\(=3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+...+3^{199}\left(1+3\right)\)

\(=3.4+3^3.4+3^{199}.4=4\left(3+3^3+...+3^{199}\right)⋮4\)

b) \(B=3+3^2+3^3+...+3^{120}\)

\(=3\left(1+3+3^2\right)+3^4\left(1+3+3^2\right)+...+3^{198}\left(1+3+3^2\right)\)

\(=3.13+3^4.13+...+3^{198}.13=13\left(3+3^4+...+3^{198}\right)⋮13\)

Đặt B = 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰²³

⇒ 2B = 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2²⁰²⁴

⇒ B = 2B - B

= (2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2²⁰²⁴) - (2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰²³)

= 2²⁰²⁴ - 2²

⇒ A = 2² + 2²⁰²⁴ - 2² = 2²⁰²⁴

= 2.2²⁰²³ ⋮ 2²⁰²³

Vậy A ⋮ 2²⁰²³

Lời giải:

$A=4+2^2+2^3+....+2^{2023}$

$2A=8+2^3+2^4+...+2^{2024}$

$\Rightarrow 2A-A=(8+2^3+2^4+...+2^{2024})-(4+2^2+2^3+....+2^{2023})$

$\Rightarrow A=2^{2024}+8-4-2^2=2^{2024}\vdots 2^{2023}$

Ta có đpcm/

\(C=\frac{3-1}{3}+\frac{3^2-1}{3^2}+...+\frac{3^n-1}{3^n}\)

\(=1-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{3^2}+...+1-\frac{1}{3^n}\)

\(=1+1+...+1-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^n}\right)\)

\(=n-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^n}\right)=n-D\)

\(D=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^n}\)

\(3D=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}}\)

\(\Rightarrow2D=1-\frac{1}{3^n}\Rightarrow D=\frac{1}{2}-\frac{1}{2.3^n}\)

\(\Rightarrow C=n-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2.3^n}\right)=n-\frac{1}{2}+\frac{1}{2.3^n}>n-\frac{1}{2}\)