c.

Ta có:

\(sinB=\dfrac{AC}{BC}\)

\(cosC=\dfrac{AC}{BC}\)

\(\Rightarrow cosC=sinB\)

Lại có: \(cosB=\dfrac{AB}{BC}\)

\(\Rightarrow sin^2B+cos^2B=\dfrac{AC^2}{BC^2}+\dfrac{AB^2}{BC^2}=\dfrac{AC^2+AB^2}{BC^2}=\dfrac{BC^2}{BC^2}=1\)

Do đó:

\(\dfrac{sinB+5cosC}{sin^4B+cos^4B+2sin^2B.cos^2B}=\dfrac{sinB+5sinB}{\left(sin^2B+cos^2B\right)^2}=\dfrac{6sinB}{1^2}=6sinB\) (đpcm)

a) Xét tam giác AEH và tam giác AHB có:

\(\widehat{AEH}=\widehat{AHB}=90^o\)

Góc A chung

\(\Rightarrow\Delta AEH\sim\Delta AHB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{AE}{AH}\Rightarrow AE.AB=AH^2\)

Tương tự \(\Delta AHF\sim\Delta ACH\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AC}=\frac{AF}{AH}\Rightarrow AF.AC=AH^2\)

Xét tam giác vuông ABC có AH là đường cao nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

\(HB.HC=AH^2\)

Vậy nên ta có AE.AB = AF.AC = HB.HC

b)   Ta có \(\Delta AHC\sim\Delta BAC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{HC}{AC}\Rightarrow AH.AC=AB.HC\)

\(\Rightarrow AB.AH.AC=AB.AB.HC\Rightarrow\left(AB.AC\right).AH=AB^2.HC\)

\(\Rightarrow BC.AH.AH=AB^2.HC\Rightarrow AH^2.BC=AB^2.HC\)

\(\Rightarrow\frac{AH^2}{AB^2}=\frac{CH}{BC}\Rightarrow\left(\frac{AH}{AB}\right)^2=\frac{CH}{BC}\Rightarrow sin^2B=\frac{CH}{BC}\) 

c) Xét tam giác vuông ABC có AH là đường cao, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có :

\(AC^2=HC.BC\)

Lại có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên BC = 2AM.

Suy ra \(AC^2=HC.2.AM\Rightarrow\frac{1}{AM}=\frac{2HC}{AC^2}\Rightarrow\frac{AH}{AM}=2.\frac{AH}{AC}.\frac{HC}{AC}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{AMB}=2.sin\widehat{ACB}.cos\widehat{ACB}\)

a, muộn rồi nên mk làm qua loa nha!

Dễ cm được AKHI là hình chữ nhật \(\Rightarrow AH=IK\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABC\) \(\Rightarrow IK^2=AH^2=BH.HC\)

b, \(Sin^2B=\left(\dfrac{AC}{BC}\right)^2\) \(=\dfrac{AC^2}{BC^2}\) (1)

theo hệ thức lượng: \(AC^2=HC.BC\) 

Thay vào (1)\(\Rightarrow Sin^2B=\dfrac{HC.BC}{BC^2}=\dfrac{HC}{BC}\)

a) \(1+tan^2B=1+\dfrac{AC^2}{AB^2}=\dfrac{AB^2+AC^2}{AB^2}=\dfrac{BC^2}{AB^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2}=\dfrac{1}{cos^2B}\)

b) Ta có: \(a.sinB.cosB=BC.\dfrac{AC}{BC}.\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC.AB}{BC}=\dfrac{AH.BC}{BC}=AH\)

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=BC.\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2=BC.cos^2B\)

Tương tự \(\Rightarrow CH=BC.sin^2B\)

ban nay hoc thay lop Nguyen a?

Tính AH: AH² = BH * CH
             => AH = 12
Tính AB : AB² = AH² + BH²
                => AB = 15

            sin C = \(\frac{AB}{BC}\)
            AC² = BC²  - AB²
              => AC= 20

Cos C = \(\frac{AC}{BC}\)
Tan B = \(\frac{AC}{AB}\)

Mình chỉ viết gợi ý thôi, k chi tiết lắm
 

ta có BC = BH + HC = 9 + 16 = 25

\(\Delta\)ABC vuông tại A có đường cao AH

AB^2 = BH.BC = 9.25 =225

=> AB = 15

AC^2 = HC.BC = 16.25 = 400

=> AC = 20

sin C = \(\frac{AB}{BC}\)= \(\frac{15}{25}\)=\(\frac{3}{5}\)

cos C =\(\frac{AC}{BC}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}\)

tan B = \(\frac{AC}{AB}\frac{20}{15}\frac{4}{3}\)