a)

+) Mệnh đề R: “Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng \({60^o}\)” có dạng \(P \Rightarrow Q\), với

P: “ABC là tam giác đều” và Q: “Tam giác ABC có hai góc bằng \({60^o}\)”

Ta thấy khi P đúng thì Q cũng đúng. Do đó \(P \Rightarrow Q\) đúng hay R đúng.

+) Mệnh đề T: “Nếu \(a = 2\) thì \({a^2} - 4 = 0\)” có dạng \(P \Rightarrow Q\), với:

P: “\(a = 2\)” và Q: “\({a^2} - 4 = 0\)”.

Ta thấy khi P đúng thì Q cũng đúng. Do đó \(P \Rightarrow Q\) đúng hay T đúng.

b) Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) của hai mệnh đề trên là:

“Nếu ABC có hai góc bằng \({60^o}\) thì nó là tam giác đều”, đúng.

“Nếu \({a^2} - 4 = 0\) thì \(a = 2\)” sai (vì thiếu nghiệm \(a =  - 2\)).

dài  vvvvvvvvvvvvv

Theo mình chỉ khi mệnh đề đúng mới phát biểu đk cần , đủ được

Ví dụ:

Xét mệnh đề: "Hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau"

Hãy phát biểu điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ.

Hướng dẫn:

1) Điều kiện cần: Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau.

2) Điều kiện đủ: Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác đó có diện tích bằng nhau.

3) Điều kiện cần và đủ: Không có

Vì A⇒B: đúng nhưng B⇒A sai, vì " Hai tam giác có diện tích bằng nhau nhưng chưa chắc đã bằng nhau".

a) \(\left(P\Rightarrow Q\right):\)"Nếu \(x\) là một số hữu tỉ \(x^2\) cũng là một số hữu tỉ". Mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề đảo là " Nếu \(x^2\) là một số hữu tỉ thì \(x\) là một số hữu tỉ"

c) Chẳng hạn, với \(x=\sqrt{2}\) mệnh đề này sai

a) Nếu a+b chia hết cho c thì a và b chia hết cho c. Mệnh đề sai.

Số chia hết cho 5 thì tận cùng bằng 0. Mệnh đề sai.

Tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam giác là cân. Mệnh đề đúng.

Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau. Mệnh đề sai.

b) a và b chia hết cho c là điều kiện đủ để a+b chia hết cho c.

Một số tận cùng bằng 0 là điều kiện đủ để số đó chia hết cho 5.

Điều kiện đủ để một tam giác là cân là có hai đường trung tuyến bằng nhau.

Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau.

c) a+b chia hết cho c là điều kiện cần để a và b chia hết cho c.

Chia hết cho 5 là điều kiện cần để một số có tận cùng bằng 0.

Điều kiện cần để tam giác là tam giác cân là nó có hai trung tuyến bằng nhau.

Có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau.

Bài 1:

a/ Với \(x=0\Rightarrow0-0+1>0\) đúng

Vậy mệnh đề đúng

Phủ định: \(\forall x\in R;x^3-x^2+1\le0\)

Hoặc: \(∄x\in R,x^3-x^3+1>0\)

b/ \(x^4-x^2+1=\left(x^2+1\right)^2-3x^2=\left(x^2+\sqrt{3}x+1\right)\left(x^2-\sqrt{3}x+1\right)\)

Vậy mệnh đề đã cho là đúng

Phủ định: \(\exists x\in R,x^4-x^2+1\ne\left(x^2+\sqrt{3}x+1\right)\left(x^2-\sqrt{3}x+1\right)\)

Câu 2:

a/ Với \(x=0\Rightarrow0>-2\) nhưng \(0^2< 4\)

\(\Rightarrow\) Mệnh đề sai

b/ Mệnh đề đúng do \(x\in N\Rightarrow x\ge0\)

\(x>2\Rightarrow x^2>4\) (2 vế của BĐT đều không âm thì có thể bình phương 2 vế)

Câu 3:

P là mệnh đề đúng

\(P:\) "\(\forall x\in R,x\in Q\Rightarrow2x\in Q\)"

\(\overline{P}:\) "\(\exists x\in R,x\in Q\Rightarrow2x\notin Q\)"

\(\overline{P}\) là mệnh đề sai

Chứng minh P đúng:

Do x hữu tỉ, đặt \(x=\frac{a}{b}\) với a; b là các số nguyên \(\left(a;b\right)=1\) và \(b\ne0\)

\(\Rightarrow2x=\frac{2a}{b}\)

Do a nguyên \(\Rightarrow2a\) nguyên \(\Rightarrow\frac{2a}{b}\) hữu tỉ

b/ Mệnh đề đảo của P:

" Với mọi số thực x, nếu 2x là số hữu tỉ thì x là số hữu tỉ"

Chứng minh tương tự như trên

c/ "Với mọi số thực x thì x là số hữu tỉ khi và chỉ khi 2x là số hữu tỉ"

Bài 4:

a/ Là mệnh đề sai, ví dụ \(x=1;y=1\)

b/ Là mệnh đề đúng, ví dụ: \(x=1;y=1\)

P: “tam giác ABC vuông tại A”

Q: “tam giác ABC có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”

+) Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) là “Nếu tam giác ABC có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)thì tam giác ABC vuông tại A”

+) Từ định lí Pytago, ta có:

Tam giác ABC vuông tại A thì \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

Và: Tam giác ABC có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) thì vuông tại A.

Do vậy, hai mệnh đề “\(P \Rightarrow Q\)” và “\(Q \Rightarrow P\)” đều đúng.