Chứng minh rằng biểu thức:
\(4x\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+z\right)+y^2z^2\) luôn có giá trị không âm với mọi giá trị của x,y và z.
Những câu hỏi liên quan
Chứng minh giá trị của mỗi đa thức sau luôn luôn không âm với mọi giá trị của các biến
a) \(A=\left(x-y\right)^2\left(z^2-2z+1\right)-2\left(z-1\right)\left(x-y\right)^2+\left(x-y\right)^2\)
\(A=\left(x-y\right)^2\left(z^2-2z+1\right)-2\left(z-1\right)\left(x-y\right)^2+\left(x-y\right)^2\)
\(A=\left(x-y\right)^2\left(z-1\right)^2-2\left(x-y\right)\left(z-1\right)\left(x-y\right)+\left(x-y\right)^2\)
\(A=\left[\left(x-y\right)\left(z-1\right)-\left(x-y\right)\right]^2\ge0\) \(\forall x,y,z\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh biểu thức sau không âm với mọi giá trị của biến:
\(N=4x\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(x+y+z\right)+y^2+z^2\)
Chứng minh giá trị của mỗi đa thức sau luôn luôn không âm với mọi giá trị của các biến
b) \(B=\left(x^2+y^2\right)\left(z^2-4z+4\right)-2\left(z-2\right)\left(x^2+y^2\right)+x^2+y^2\)
cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn x+y+z=1
a) Chứng minh rằng \(xyz\ge\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)\)
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^2+y^2+z^2+\frac{9}{2}xyz.\)
a) Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y-z=a\\y+z-x=b\\z+x-y=c\end{cases}\Rightarrow}x=\frac{a+c}{2};y=\frac{b+a}{2};z=\frac{c+b}{2}\)
Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\frac{a+b}{2}.\frac{b+c}{2}.\frac{c+a}{2}\ge abc\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{8}\ge abc\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\ge0\\b+c\ge2\sqrt{bc}\ge0\\c+a\ge2\sqrt{ca}\ge0\end{cases}\Rightarrow}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8abc\)
Vật bất đẳng thức được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z\)
Chứng minh với mọi x, y khác 0 thì giá trị của biểu thức \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+\left(z+\frac{1}{z}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\left(z+\frac{1}{z}\right)\)
không phụ thuộc vào giấ trị của biến
Cho x,y,z>0 và khác nhau đôi một. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của các biến:
P=\(\dfrac{x}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)}+\dfrac{y}{\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)}+\dfrac{z}{\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{z}-\sqrt{y}\right)}\)
\(P=\dfrac{x\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)-y\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)}+\dfrac{z}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)}\)
\(=\dfrac{x\sqrt{y}-x\sqrt{z}-y\sqrt{x}+y\sqrt{z}+z\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)-\sqrt{z}\left(x-y\right)+z\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{xy}-\sqrt{z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+z\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{xy}-\sqrt{zx}-\sqrt{zy}+z\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)-\sqrt{z}\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)}\)
=1
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ne0\)và x+y+z = 1. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z
\(T=\frac{\left(x+yz\right)\left(y+zx\right)\left(z+xy\right)}{\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(z+x\right)^2}\)
Ơ thế liên quan l đến cậu à Thành? Hay nên gọi là Thánh chứ nhỉ? :) Có ai khiến cậu trả lời không mà kêu lắm :> Đấy là bài tập chỗ học thêm bên ngoài, đ' làm được thì lên hỏi thắc mắc làm l gì :> Đ' hỏi bài tập ở lớp thì thôi đừng ngồi chõ mồm vào :>
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
P=\(\frac{x}{\left(\sqrt{x-\sqrt{y}}\right).\left(\sqrt{x-\sqrt{z}}\right)}+\frac{y}{\left(\sqrt{y-\sqrt{z}}\right).\left(\sqrt{y-\sqrt{x}}\right)}+\frac{z}{\left(\sqrt{z-\sqrt{y}}\right).\left(\sqrt{z-\sqrt{y}}\right)}\)
Cho x,y,z>0 và khác nhau đôi một.Chứng minh rằng giá trị của biểu thức Pkhông phụ thuộcvào giá trị của biến.
Cho x,y,z là các số dương thay đổi và luôn thỏa mãn điều kiện xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1