Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau:

 \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{x+y+z}{1}=x+y+z\)

\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b}=\frac{z^2}{c}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\)

=> \(x+y+z=x^2+y^2+z^2\)

Suy ra: \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zt\right)=x+y+z+2\left(xy+yz+zt\right)\)

=> \(xy+yz+zt=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)^2-\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)

Đặt x+y+z=t

Ta có: \(xy+yz+zt=\frac{1}{2}\left(t^2-t\right)\)

M=xy+yz+zt=\(\frac{1}{2}\left(t^2-t\right)+2015=\frac{1}{2}\left(t^2-2.t.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)+2015=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{8}+2015\)

\(=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{16119}{8}>0\)

Lời giải:

a) Vì $abc=1$ nên ta có:
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac}{abc.+ac+c}+\frac{b.ac}{bc.ac+b.ac+ac}+\frac{c}{ac+c+1}\)

\(=\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+1+c}{ac+c+1}=1\)

(đpcm)

b)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=ka\\ y=kb\\ z=kc\end{matrix}\right.\)

\(x+y+z=ka+kb+kc=k(a+b+c)=k\)

\(x^2+y^2+z^2=k^2a^2+k^2b^2+k^2c^2=k^2(a^2+b^2+c^2)=k^2\)

\(\Rightarrow A=xy+yz+xz=\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{k^2-k^2}{2}=0\)

Ta có: \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=\dfrac{x+y+z}{1}\)

\(\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{1}\)

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)

\(\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)=0\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz=0\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt!

Đặt \(D=\dfrac{\text{x}^2+a}{xy+a}\)

\(E=\dfrac{y^2+b}{yz+b}\)

\(F=\dfrac{z^2+c}{xz+c}\)

Dự đoán: Đẳng thức xảy ra khi: D=E=F=1

Áp dụng bđt AM_GM :

||bđt có được dùng ngược lại giống như đl Ta-let/ Py-ta-go ko??||

\(\dfrac{x^2+a}{yz+b}\cdot\dfrac{y^2+b}{xz+c}\cdot\dfrac{z^2+c}{xy+a}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\text{x}^2+a}{xy+a}\cdot\dfrac{y^2+b}{yz+b}\cdot\dfrac{z^2+c}{xz+c}\ge1\) (*)

*Nhận xét: Giá trị của VT phụ thuộc vào x,y,z .

Trong 3 số x,y,z có ít nhất 1 số >/ các số còn lại => trong 3 đa thức D, E, F có ít nhất 1 đa thức >/ 1 với mọi x,y,z,a,b,c dương

\(\Rightarrow\) (*) đúng

Hay \(\dfrac{x^2+a}{yz+b}+\dfrac{y^2+b}{xz+c}+\dfrac{z^2+c}{xy+a}\ge3\) \(\forall x,y,z,a,b,c>0\)

Dấu "=" xảy ra khi D=E=F=1 , hay x=y=z

|| kết luận viết như nào đây........||

----------------------

Không biết có đúng không nữa, sai sót gì sư phụ góp ý cho con nhá..... nhớ góp ý nhẹ nhẹ thôi không là broken heart T_T!! Cảm ơn ạ

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\sum\dfrac{x^2+a}{yz+b}\ge\sum\dfrac{2\left(x^2+a\right)}{y^2+z^2+2b}\)

Đặt \(x^2+y^2+y^2+a+b+c=m\)(m>0)

Áp dụng BĐT chebyshev:

\(\left[\dfrac{2\left(x^2+a\right)}{y^2+z^2+2b}+\dfrac{2\left(y^2+b\right)}{x^2+z^2+2c}+\dfrac{2\left(z^2+c\right)}{x^2+y^2+2a}\right]\left[\left(y^2+z^2+2b\right)+\left(x^2+z^2+2c\right)+\left(x^2+y^2+2a\right)\right]\ge6\left(x^2+y^2+z^2+a+b+c\right)\)

hay \(VT.2m\ge6m\Leftrightarrow VT\ge3\)

Điều này đúng khi ta có thứ tự sắp biến sau:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2+a}{y^2+z^2+2b}\ge\dfrac{y^2+b}{x^2+z^2+2c}\ge\dfrac{z^2+c}{x^2+y^2+2a}\\y^2+z^2+2b\le x^2+z^2+2c\le x^2+y^2+2a\end{matrix}\right.\)

Thật vậy, giả sử \(x\ge y\ge z\) và \(a=max\left\{a,b,c\right\}\) thì điều trên đúng

P/s : dòng cuối em chém đó, sir giải quyết nốt đi,mắc khúc cuối :v

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM có:

\(\dfrac{x^2+a}{yz+b}+\dfrac{y^2+b}{xz+c}+\dfrac{z^2+c}{xy+a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(x^2+a\right)\left(y^2+b^2\right)\left(z^2+c\right)}{\left(yz+b\right)\left(xz+c\right)\left(xy+a\right)}}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(xy+a\right)\left(yz+b\right)\left(xz+c\right)}{\left(yz+b\right)\left(xz+b\right)\left(xz+c\right)}}=3\sqrt[3]{1}=3\)

Dấu " = " khi \(a=b=c=x=y=z=1\)

Vậy...