a: BC=8cm

\(\widehat{C}=30^0\)

\(\widehat{B}=60^0\)

a: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền BA

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền CA

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: Ta có: \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

nên \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

Xét ΔADE vuông tại A và ΔACB vuông tại A có 

\(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

Do đó: ΔADE\(\sim\)ΔACB

a, Ta có : 

^C = 45⁰ ( t/c tam giác vuông cân : mỗi góc nhọn đều bằng 45⁰ ) (*)

Lại có : Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó 

Mà : ^BDH = 90⁰ => ^HDA + ^BDH = ^DBA => ^HDA = ^DBA - ^BDH = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰

Suy ra : ^ADE = ^HDE = ^HDA/2 = 90⁰/2 = 45⁰ (**)

tỪ (*); (**) TA CÓ ĐPCM 

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=4,5^2+6^2=7,5^2\)

=>\(BC=\sqrt{7,5^2}=7,5\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot7,5=4,5\cdot6=27\)

=>\(AH=\dfrac{27}{7,5}=3,6\left(cm\right)\)

b: Gọi M là trung điểm của HC

Vì ΔCEH vuông tại E

nên ΔCEH nội tiếp đường tròn đường kính HC

=>ΔCEH nội tiếp (M)

=>ME=MH=MC

Vì ME=MH

nên \(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\)

mà \(\widehat{MHE}=\widehat{ABC}\)(hai góc đồng vị, HE//AB)

nên \(\widehat{MEH}=\widehat{ABC}\)

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{DAH}=\widehat{DEH}\)

=>\(\widehat{DEH}=\widehat{HAB}\)

\(\widehat{MED}=\widehat{MEH}+\widehat{DEH}\)

\(=\widehat{HBA}+\widehat{HAB}=90^0\)

=>DE là tiếp tuyến của (M)(ĐPCM)

c: Vì ADHE là hình chữ nhật

nên AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của AH và DE

Xét ΔHAC có

I,M lần lượt là trung điểm của HA,HC

=>IM là đường trung bình của ΔHAC

=>\(IM=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{6}{2}=3\left(cm\right)\)