Cho tam giác ABC nhọn ( AB<AC ) . Kẻ đường cao AH . Gọi M là trung điểm Ab , N đối xứng H qua M .
a) Chứng minh : ANBH là hình chữ nhật .
b) Trên tia đối tia HB lấy E sao cho H là trung điểm BE , Gọi F là điểm đối xứng A qua H . Chứng minh : ABFE là hình thoi .
c) Gọi I là giao điểm AH và NE . Chứng minh : MI // BC .
d ) Đường thẳng MI cắt AC tại K . Kẻ NQ vuông góc với KH tại Q . Chứng minh : AQ vuông góc BQ .
b1: cho tam giác nhọn ABC. Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của AC,AB,BC
a) tứ giác BCDE là hình gì? vì sao?
b) tứ giác BEDF là hình gì? vì sao?
c) gọi H là trực tâm của tam giác ABC. M,N,P lần lượt là trung điểm của BH,CH,AH. cmr: tứ giác DEMN là hình chữ nhật
d) gọi O là giao điểm của MD và EN. cmr 3 điểm O,P,F thẳng hàng
b2: cho tam giác ABC cân tại A. đường trung tuyến AI. E là trung điểm của AC, M là điểm đối xứng với I qua E.
a) cmr tứ giác AMCI là hình chữ nhật
b) AI cắt BM tại O. cmr OE // IC
b3: cho tam giác ABC vuông tại A, có góc B bằng 60 độ, AB = 3cm, AM là trung tuyến của tam giác.
a) Tính độ dài cạnh BC và số đo góc MAC
b) trung trực của cạnh BC cắt AB tại E và cắt AC tại F. chứng minh B với E đối xứng qua AC và FC = 2FA
c) gọi I là trung điểm của đoạn FC. K là trung điểm của đoạn FE. chứng minh tứ giác AMIK là hình chữ nhật và tính diện tích hình chữ nhật AMIK.
d) P là trung điểm của FI, Q là trung điểm của FK. cmr 3 đường thẳng AQ,BF,MP đồng quy
Cho △ABC vuông tại a (AB<AC) có đường cao AH (H ϵ BC).Kẻ HD vuông góc với AB tại D và HE vuông góc với AC tại E.
a)Chứng minh:tứ giác ADHE là hình chữ nhật
b)Gọi F là điểm đối xứng của H qua D .Chứng minh tứ giác AEDF là hình bình hành.
c)Gọi K là giao điểm của FA và HE.Chứng minh tứ giác ADEK là hình bình hành từ đó suy ra E là trung điểm HK.
d)Đường thẳng qua H và song song với DE cắt AC tại M.Chứng minh tứ giác AHMK là hình thoi
a: Xét tứ giác ADHE có
\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)
=>ADHE là hình chữ nhật
b: ADHE là hình chữ nhật
=>HD//AE và HD=AE
Ta có: HD//AE
D\(\in\)HF
Do đó: DF//AE
Ta có; HD=AE
HD=DF
Do đó: AE=DF
Xét tứ giác AEDF có
AE//DF
AE=DF
Do đó: AEDF là hình bình hành
c: Ta có: AEDF là hình bình hành
=>AF//DE
mà A\(\in\)KF
nên KA//ED
Ta có: EH//AD
E\(\in\)KH
Do đó: KE//AD
Xét tứ giác ADEK có
AD//EK
AK//DE
Do đó: ADEK là hình bình hành
=>AK=DE
mà DE=AF(AEDF là hình bình hành)
nên AF=AK
mà K,A,F thẳng hàng
nên A là trung điểm của KF
d: Xét tứ giác DHME có
DH//ME
DE//MH
Do đó: DHME là hình bình hành
=>DH=EM
mà DH=EA
nên EM=EA
=>E là trung điểm của AM
Xét tứ giác AHMK có
E là trung điểm chung của AM và HK
=>AHMK là hình bình hành
Hình bình hành AHMK có AM\(\perp\)HK
nên AHMK là hình thoi
Cho tam giác ABC nhọn, AB<AC. Các đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Gọi M là tđ của BC. Qua B vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB, AC tại I và K.
a, Chứng minh tam giác ABC đồng dạng EFC.
b, Qua C kẻ đường thẳng song song với IK. b cắt AH, AB tại N,D. Chứng minh NC=ND và HI=HK
c, Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh AH/HE+BH/HF+CH/HG>6
Cho △ABC vuông tại a (AB<AC) có đường cao AH (H ϵ BC).Kẻ HD vuông góc với AB tại D và HE vuông góc với AC tại E.
a)Chứng minh:tứ giác ADHE là hình chữ nhật
b)Gọi F là điểm đối xứng của H qua D .Chứng minh tứ giác AEDF là hình bình hành.
c)Gọi K là giao điểm của FA và HE.Chứng minh tứ giác ADEK là hình bình hành từ đó suy ra E là trung điểm HK.
d)Đường thẳng qua H và song song với DE cắt AC tại M.Chứng minh tứ giác AHMK là hình thoi
Cho tam giác ABC, I là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng AI tại D. Trên tia đối của tai ID lấy điểm E sao cho IE=ID. Gọi H là giao điểm của CE và AB. Chứng minh rằng: tam giác AHC là tam giác vuông.
Xét tam giác CIE và tam giác BID có: IE=ID; IC=IB và ^CIE=^BID (Đối đỉnh)
=> Tam giác CIE = Tam giác BID (c.g.c)
^ICE=^IBD (2 góc tương ứng). Mà ^ICE và ^IBD so le trong
=> CE//BD hay BD//CH. Mà BD vuông góc với AB
=> CH vuông góc với AB (Quan hệ //, vg góc)
=> Tam giác AHC vuông tại H (đpcm).
Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AH và đường cao BQ. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. O là giao điểm của MN và AH, CO cắt AB tại K. Gọi D là điểm đối xứng của H qua M.
a) Tam giác PQH là tam giác gì? Vì sao?
b) Cm: AB = 3AK
c) Gọi E là điểm đối xứng của A qua H. BF va CP là hai đường cao của tam giác BCE. Cm: tam giác FBQ là tam giác vuông.
d) HJ vuông góc AB tại J. Trên tia đối của tia HJ lấy G sao cho HG = AB. Cm: PG là tia phân giác của góc APB.
Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác của góc B cắt AC tại M . Kẻ MD vuông góc với BC (D thuộc BC).
a. Chứng minh BA=BD.
b. Gọi điểm E là giao của hai đường thẳng DM và BA. Chứng minh : tam giác ABC = tam giác DBE.
c. Kẻ DH vuông góc với MC tại H và AK vuông góc với ME tại K . Gọi N là giao của hai tia DH và AK . Chứng minh : MN là tia phân giác của góc HMK.
d.Chứng minh: Ba điểm B,M,N thẳng hàng.
a) Xét tam giác DBM và tam giác ABM có:
BM: là cạnh huyền (vừa cạnh chung)
^MDB = ^MAB = 90o
^DBM = ^ABM (giả thiết do BM là tia phân giác)
\(\Rightarrow\)\(\Delta\)DBM = \(\Delta\) ABM (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow\) AB = BD
b) Xét \(\Delta\) ABC và \(\Delta\) DBE có:
AB = BD (CMT)
^B chung
^BAC = ^EDB = 90o
\(\Rightarrow\) \(\Delta\) ABC = \(\Delta\) DBE (cạnh góc vuông - góc nhọn kề cạnh ấy)
c) (không chắc nha). Từ đề bài suy ra ^NHM = ^NKM = 90o (kề bù với ^DHM = ^AKM = 90o, giả thiết)
Từ đó, ta có N cách đều hai tia MH, MK nên nằm trên đường phân ^HMK hay MN là tia phân giác ^HMK.
d)(không chắc luôn:v) Ta sẽ chứng minh BN là tia phân giác ^ABC.
Thật vậy, từ N, hạ NF vuông góc BC, hạ NG vuông góc với AB.
Đến đấy chịu, khi nào nghĩ ra tính tiếp.
a)Xét ∆ vuông BAM và ∆ vuông BDM ta có :
BM chung
ABM = DBM ( BM là phân giác)
=> ∆BAM = ∆BDM ( ch-gn)
=> BA = BD
AM = MD
b)Xét ∆ vuông ABC và ∆ vuông DBE ta có :
BA = BD
B chung
=> ∆ABC = ∆DBE (cgv-gn)
c) Xét ∆ vuông AKM và ∆ vuông DHM ta có :
AM = MD( cmt)
AMK = DMH ( đối đỉnh)
=> ∆AKM = ∆DHM (ch-gn)
=> MAK = HDM ( tương ứng)
Xét ∆AMN và ∆DNM ta có :
AM = MD
MN chung
MAK = HDM ( cmt)
=> ∆AMN = ∆DNM (c.g.c)
=> DNM = ANM ( tương ứng)
=> MN là phân giác AND
d) Vì MN là phân giác AND
=> M , N thẳng hàng (1)
Vì BM là phân giác ABC
=> B , M thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) => B , M , N thẳng hàng
A, nghĩ ra rồi nè:) (đúng hay không là chuyện khác:v)
Bỏ cái dòng "Thật vậy, từ N hạ NF vuông góc với BC, hạ NG vuông góc với AB" đi nha, thừa thãi không cần thiết => gây khó bài toán.
d)Ta sẽ chứng minh \(\Delta NHM=\Delta NKM;\Delta MHD=\Delta MKA\)
Xét \(\Delta\) NHM và \(\Delta\) NKM có:
^NKM = ^NHM = 90o
NM là cạnh chung đồng thời là cạnh huyền
^NMK = ^NMH (chứng minh trên câu c: MN là tia phân giác góc HMK)
Suy ra \(\Delta\) NHM = \(\Delta\) NKM (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra NK = NH (1) và MK = MH (2)
Xét \(\Delta\)MHD và \(\Delta\) MKA có:
MK = MH (chứng minh ở (2))
^KMA = ^HMD (đối đỉnh)
MA = MD (do tam giác DBM = tam giác ABM ,đã chứng minh ở câu a)
Suy ra \(\Delta\)MHD = \(\Delta\) MKA (c.g.c) (nếu ko thì bạn có thể chứng minh theo trường hợp cạnh huyền góc nhọn cũng ra nhé)
Suy ra KA = HD (3)
Từ (1) và (3) suy ra KA + NK = HD + MH tức là AN = ND.
Tới đây dễ dàng chứng minh được \(\Delta NDB=\Delta NAB\left(c.c.c\right)\Rightarrow\widehat{NBD}=\widehat{NBA}\) suy ra BN là tia phân giác góc B.
Kết hợp với BM là tia phân giác góc B (giả thiết) ta có đpcm.
Cho ( O ; R ) và dây cung \(BC=R\sqrt{3}\) cố định . Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn . Gọi E là điểm đối xứng với B qua AC và F là điểm đối xứng với C qua AB . Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K ( K khác A ) . Gọi H là giao điểm của BE và CF .
a) Chứng minh KA là phân giác trong góc BKC và tứ giác BHCK nội tiếp .
b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất , tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó theo R .
c) Chứng minh AK luôn đi qua một điểm cố dịnh .
