Nói thật với bạn mình không biết sử dụng BĐT Cô si cho dạng này, nhưng mình có một cách làm dễ hơn, bạn tham khảo nhé.

\(x>9\Rightarrow\sqrt{x}-3>0\Rightarrow F>0\)

\(\dfrac{1}{F}=\dfrac{x-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}=\sqrt{x}+2+\dfrac{9}{\sqrt{x}-3}=\sqrt{x}-3+\dfrac{9}{\sqrt{x}-3}+5\ge2\sqrt{\dfrac{9\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}-3}}+5=11\)

\(\Rightarrow F\le\dfrac{1}{11}\)

\(F_{max}=\dfrac{1}{11}\) khi \(\sqrt{x}-3=3\Rightarrow x=36\)

Đề là \(M=\frac{x^2+y^2+3}{x+y+1}\) à bạn ??

Không bạn, đề như mình ý

Thế này hả:

\(M=x^2+y^2+\frac{3}{x+y+1}\)

Phải vậy ko Ngọc Hạnh Phan 

Để M nguyên thì \(5⋮\sqrt{a}+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+1\in\left\{1;5\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}\in\left\{0;4\right\}\)

hay \(a\in\left\{0;16\right\}\)

Tham khảo:  Cho tứ giác ABCD có góc C + góc D = 90 độ. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên 1 đường tròn - Toán học Lớp 9 - Bài tập Toán học Lớp 9 - Giải bài tập Toán học Lớp 9 | Lazi.vn - Cộng đồng Tri thức & Giáo dục

Xét ΔABD có 

M là trung điểm của AB

S là trung điểm của AD

Do đó: MS là đường trung bình của ΔBAD

Suy ra: MS//BD và \(MS=\dfrac{BD}{2}\left(1\right)\)

mà BD\(\perp\)AC

nên MS\(\perp\)AC

Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MN//AC

và AC\(\perp\)MS

nên MN\(\perp\)MS

Xét ΔBCD có 

N là trung điểm của BC

R là trung điểm của CD

Do đó: RN là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra: RN//BD và \(RN=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra MS//NR và MS=NR

Xét tứ giác MSRN có 

MS//NR

MS=NR

Do đó: MSRN là hình bình hành

mà \(\widehat{SMN}=90^0\)

nên MSRN là hình chữ nhật

Suy ra: M,S,R,N cùng thuộc 1 đường tròn

a/ Tam giác AMN cân tại A (gt). \(\Rightarrow\) \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM};AM=AN.\)

Xét tam giác AMB và tam giác ANC có:

+ AM = AN (cmt).

+ \(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\left(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\right).\)

+ MB = NC (gt).

\(\Rightarrow\) Tam giác AMB = Tam giác ANC (c - g - c).

\(\Rightarrow\) AB = AC (cặp cạnh tương ứng).

Xét tam giác ABC có: AB = AC (cmt).

\(\Rightarrow\) Tam giác ABC cân tại A.

b/ Tam giác ABC cân tại A (cmt) \(\Rightarrow\) \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}.\)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{MBH;}\widehat{ACB}=\widehat{NCK}\text{​​}\) (đối đỉnh).

\(\Rightarrow\) \(\widehat{MBH}=\widehat{NCK}.\)

Xét tam giác MBH và tam giác NCK \(\left(\widehat{BHM}=\widehat{CKN}=90^o\right)\)có:

+ MB = NC (gt).

+ \(\widehat{MBH}=\widehat{NCK}\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\) Tam giác MBH = Tam giác NCK (cạnh huyền - góc nhọn).

c/ Tam giác MBH = Tam giác NCK (cmt).

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BMH}=\widehat{CNK}\) (cặp góc tương ứng).

Xét tam giác OMN có: \(\widehat{NMO}=\widehat{MNO}\) (do \(\widehat{BMH}=\widehat{CNK}\)).

\(\Rightarrow\) Tam giác OMN tại O.

Để A là số nguyên thì \(-5⋮2\sqrt{x}+1\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+1\in\left\{1;5\right\}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}\in\left\{0;4\right\}\)

hay \(x\in\left\{0;4\right\}\)

Để A là số nguyên thì \(\sqrt{x}-1⋮2\sqrt{x}+3\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+3-5⋮2\sqrt{x}+3\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+3=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\)

hay x=1