cho \(a_1\le a_2\le a_3\) và \(b_1\le b_2\le b_3\)
cmr:\(\dfrac{a_1+a_2}{2}.\dfrac{b_1+b_2}{2}\le\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{2}\)
Cho \(a_1\le a_2\le a_3\) và \(b_1\le b_2\le b_3\) ,cmr:
a)\(\dfrac{a_1+a_2}{2}.\dfrac{b_1+b_2}{2}\le\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{2}\)
b)\(\dfrac{a_1+a_2+a_3}{3}.\dfrac{b_1+b_2+b_3}{3}\le\dfrac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{3}\)
áp dụng:\(\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\left(x^7+y^7\right)\le4\left(x^{11}+y^{11}\right)\)
\(\forall x,y>0\)
cho hai dãy số cùng chiều \(a_1\le a_2\le a_3;b_1\le b_2\le b_3\)
CMR \(\left(a_1+a_2+a_3\right)\left(b_1+b_2+b_3\right)\le3\left(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\right)\)
Xét hiệu \(\left(a_1+a_2+a_3\right)\left(b_1+b_2+b_3\right)-3\left(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\right)\)
\(=a_1\left(b_1+b_2+b_3\right)+a_2\left(b_1+b_2+b_3\right)+a_3\left(b_1+b_2+b_3\right)-3a_1b_1-3a_2b_2-3a_3b_3\)
\(=a_1\left(b_1+b_2+b_3-3b_1\right)+a_2\left(b_1+b_2+b_3-3b_2\right)+a_3\left(b_1+b_2+b_3-3b_3\right)\)
\(=a_1\left(b_2+b_3-2b_1\right)+a_2\left(b_1+b_3-2b_2\right)+a_3\left(b_1+b_2-2b_3\right)\)
\(=a_1\left[\left(b_2-b_1\right)-\left(b_1-b_3\right)\right]+a_2\left[\left(b_3-b_2\right)-\left(b_2-b_1\right)\right]+a_3\left[\left(b_1-b_3\right)-\left(b_3-b_2\right)\right]\)
\(=a_1\left(b_2-b_1\right)-a_1\left(b_1-b_3\right)+a_2\left(b_3-b_2\right)-a_2\left(b_2-b_1\right)+a_3\left(b_1-b_3\right)-a_3\left(b_3-b_2\right)\)
\(=\left(a_1-a_2\right)\left(b_2-b_1\right)+\left(a_3-a_1\right)\left(b_1-b_3\right)+\left(a_2-a_3\right)\left(b_3-b_2\right)\)
Do giả thiết nên dễ thấy từng số hạng trên đều nhỏ hơn 0 nên tổng nhỏ hơn 0
=> ĐPCM
Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}a_1=a_2=a_3\\b_1=b_2=b_3\end{cases}}\)
cho 2n số thực : \(a_1,a_2,...,a_n;b_1,b_2,...,b_n\)
CMR : \(\left|a_1b_1+...+a_nb_n\right|\le\sqrt{\left(a_1^2+...+a_n^2\right)\left(b_1^2+...+b_n^2\right)}\)
Đặt \(f\left(x\right)=\left(a_1x-b_1\right)^2+...+\left(a_nx-b_n\right)^2\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge0\) với mọi x
Mặt khác : \(f\left(x\right)=\left(a_1^2+...+a_n^2\right)x^2-2\left(a_1b_1+...+a_nb_n\right)x+\left(b_1^2+...+b_n^2\right)\)
\(\Rightarrow\Delta'\le0\)
\(\Rightarrow\left(a_1b_1+...+a_nb_n\right)^2\le\left(a_1^2+...+a_n^2\right)\left(b_1^2+...+b_n^2\right)\)
\(\Rightarrow\left|a_1b_1+...+a_nb_n\right|\le\sqrt{\left(a_1^2+...+a_n^2\right)\left(b_{1^{ }}^2+...+b_n^2\right)}\)
Áp dụng bđt bunhia copski, ta có \(\left(a_1b_1+...+a_nb_n\right)^2\le\left(a_1^2+...+a_n^2\right)\left(b_1^2+...+b_2^2\right)\Leftrightarrow\sqrt{\left(a_1b_1+...+a_nb_n\right)^2}\le\sqrt{\left(a_1^2+...+a_n^2\right)\left(b_1^2+...+b_2^2\right)}\Leftrightarrow\left|a_1b_1+...+a_nb_n\right|\le\sqrt{\left(a_1^2+...+a_n^2\right)\left(b_1^2+...+b_2^2\right)}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\dfrac{a_1}{b_1}=...=\dfrac{a_n}{b_n}\)
Vậy \(\left|a_1b_1+...+a_nb_n\right|\le\sqrt{\left(a_1^2+...+a_n^2\right)\left(b_1^2+...+b_2^2\right)}\)
Cho \(\frac{1}{2010}\le\frac{a_i}{b_i}\le\frac{1}{2009},\text{ với }a_1,a_2,.....,a_{2000}\text{ và }b_1,b_2,......,b_{2000}\)là các số thực dương. CMR:
\(\frac{1}{2010}\le\frac{a_1+a_2+...+a_{2010}}{b_1+b_2+...+b_{2010}}\le\frac{1}{2009}\)
Chứng minh rằng: \(\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}+...+\frac{a_n}{b_n}\ge n\left(\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{b_1+b_2+b_3+...+b_n}\right)\)
Với \(a_1,a_2...,a_n;b_1,b_2...,b_n>0\)
Với 2n số thực không âm \(a_1,a_2,...,a_n\)và \(b_1,b_2,...,b_n\), Chứng minh rằng:
\(\left(a_1+a_2+...+a_n\right)\left(b_1+b_2+...+b_n\right)\le\left(\frac{a_1+a_2+...+a_n+b_1+b_2+...+b_n}{n}\right)^n\)
mày bị điên đứa nào thích thì mà đứa nào chơi truy kích cho tao nick
Cho 5 số nguyên \(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\).Gọi \(b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\) là hoán vị của 5 số đã cho
CMR:\(\left(a_1-b_1\right)\left(a_2-b_2\right)\left(a_3-b_3\right)\left(a_4-_4\right)\left(a_5-b_5\right)⋮2\)
Đặt\(c_1=a_1-b_1,c_2=a_2-b_2,c_3=a_3-b_3,c_4=a_4-b_4,c_5=a_5-b_5\)Xét tổng \(c_1+c_2+c_3+c_4+c_5\)
Ta có:\(c_1+c_2+c_3+c_4+c_5\)=\(a_1-b_1+a_2-b_2,+a_3-b_3+a_4-b_4+a_5-b_5=0\)\(\Rightarrow\)Một trong 5 số \(c_1,c_2,c_3,c_4,c_5\) phải có 1 số chẵn
\(\Rightarrow\)\(c_1.c_2.c_3.c_4.c_5⋮2\)
\(\RightarrowĐPCM\)
giả sử a1, b1, c1, a2, b2, c2 là các số khác 0 thỏa mãn các đk:
\(\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{b_1}{b_2}+\dfrac{c_1}{c_2}=0\) và \(\dfrac{a_2}{a_1}+\dfrac{b_2}{b_1}+\dfrac{c_2}{c_1}=1\)
CMR: \(\dfrac{a^2_2}{a_1^2}+\dfrac{b_2^2}{b_1^2}+\dfrac{c_2^2}{c_1^2}=1\)
Ta có:
\(\dfrac{a_2}{a_1}+\dfrac{b_2}{b_1}+\dfrac{c_2}{c_1}=1\Rightarrow\left(\dfrac{a_2}{a_1}+\dfrac{b_2}{b_1}+\dfrac{c_2}{c_1}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2_2}{a^2_1}+\dfrac{b_2^2}{b_1^2}+\dfrac{c_2^2}{c_1^2}+2\left(\dfrac{a_2b_2}{a_1b_1}+\dfrac{b_2c_2}{b_1c_1}+\dfrac{c_2a_2}{a_1c_1}\right)=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{a_2^2}{a^2_1}+\dfrac{b^2_2}{b^2_1}+\dfrac{c^2_2}{c^2_1}+2\left(\dfrac{a_2b_2c_1+b_2c_2a_1+c_2a_2b_1}{a_1b_1c_1}\right)=1\)(1)
Theo giả thiết:
\(\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{b_1}{b_2}+\dfrac{c_1}{c_2}=0\Leftrightarrow\dfrac{a_1b_2c_2+b_1a_2c_2+c_1a_2b_2}{a_2b_2c_2}=0\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Đặt \(\dfrac{a_1}{a_2}=p;\dfrac{b_1}{b_2}=q;\dfrac{c_1}{c_2}=r\), có:
\(p+q+r=0\) (1)
\(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r}=1\) (2)
Từ (2) => \(\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{q^2}+\dfrac{1}{r^2}+2\dfrac{p+q+r}{pqr}=1\)
Kết hợp với (1), ta được: \(\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{q^2}+\dfrac{1}{r^2}=1\Rightarrow\dfrac{a^2_2}{a^2_1}+\dfrac{b^2_2}{b_1^2}+\dfrac{c_2^2}{c^2_1}=1\left(đpcm\right)\)
Cho Hình 16, biết a // b.
a) Chỉ ra góc ở vị trí so le trong, đồng vị với góc \(\widehat {{B_2}}\)
b) Tính số đo các góc \(\widehat {{A_4}},\widehat {{A_2}},\widehat {{B_3}}\)
c) Tính số đo các góc \(\widehat {{B_1}},\widehat {{A_1}}\).
a) Góc ở vị trí so le trong với góc \(\widehat {{B_2}}\) là: \(\widehat {{A_4}}\)
Góc ở vị trí đồng vị với góc \(\widehat {{B_2}}\) là: \(\widehat {{A_2}}\)
b) Vì a // b nên:
+) \(\widehat {{A_4}} = \widehat {{B_2}}\)( 2 góc so le trong), mà \(\widehat {{B_2}} = 40^\circ \) nên \(\widehat {{A_4}} = 40^\circ \)
+) \(\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_2}}\) ( 2 góc đồng vị), mà \(\widehat {{B_2}} = 40^\circ \) nên \(\widehat {{A_2}} = 40^\circ \)
Ta có: \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{B_3}} = 180^\circ \) ( 2 góc kề bù) nên \(40^\circ + \widehat {{B_3}} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {{B_3}} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \)
c) Ta có: \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{B_1}} = 180^\circ \) ( 2 góc kề bù) nên \(40^\circ + \widehat {{B_1}} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {{B_1}} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \)
Vì a // b nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\) (2 góc đồng vị) nên \(\widehat {{A_1}} = 140^\circ \)