Chứng minh \(a+b\le\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\sqrt{2\left(a+b\right)}\) với a,b dương
Những câu hỏi liên quan
1. Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: sqrt{ab}+sqrt{cd}lesqrt{left(a+dright)left(b+cright)}2. Cho (x;y;z) và (a;b;c) là các số dương. Chứng minh rằng: sqrt[3]{abc}+sqrt[3]{xyz}lesqrt[3]{left(a+xright)left(b+yright)left(c+zright)}3. Cho c0 và a,b≥c. Chứng minh rằng: sqrt{cleft(a-cright)}+sqrt{cleft(b-cright)}lesqrt{ab}
Đọc tiếp
1. Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\le\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\)
2. Cho (x;y;z) và (a;b;c) là các số dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\le\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}\)
3. Cho c>0 và a,b≥c. Chứng minh rằng: \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
1) Áp dụng BĐT bun-hi-a-cốp-xki ta có:
\(\left(a+d\right)\left(b+c\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\)( vì a,b,c,d dương )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
1. Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: sqrt{ab}+sqrt{cd}lesqrt{left(a+dright)left(b+cright)}
2. Cho (x;y;z) và (a;b;c) là các số dương. Chứng minh rằng: sqrt[3]{abc}+sqrt[3]{xyz}lesqrt[3]{left(a+xright)left(b+yright)left(c+zright)}
3. Cho c0 và a,bge c. Chứng minh rằng: sqrt{cleft(a-cright)}+sqrt{cleft(b-cright)}lesqrt{ab}
Đọc tiếp
1. Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\le\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\)
2. Cho (x;y;z) và (a;b;c) là các số dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\le\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}\)
3. Cho \(c>0\) và \(a,b\ge c\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
19 tháng 12 2021 lúc 20:14
Cho a,b,c là cá số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a\left(b+1\right)}+\sqrt{b\left(c+1\right)}+\sqrt{c\left(a+1\right)}\le\frac{3\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}{2}\)
19 tháng 12 2021 lúc 20:28
AI HELP Ạ
Cho a,b,c là cá số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a\left(b+1\right)}+\sqrt{b\left(c+1\right)}+\sqrt{c\left(a+1\right)}\le\frac{3\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}{2}\)
Cảm ơn ạ
Lời giải:
Dấu "=" không xảy ra.
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}\leq \frac{a+(b+1)}{2}+\frac{b+(c+1)}{2}+\frac{c+(a+1)}{2}=\frac{2(a+b+c)+3}{2}\)
\(< \frac{3(a+b+c+ab+bc+ac+abc+1)}{2}=\frac{3(a+1)(b+1)(c+1)}{2}\)
Ta có đpcm.
Đúng 1
Bình luận (0)
Lần sau bạn lưu ý đăng 1 bài 1 lần thôi. Đăng nhiều lần coi như spam và sẽ bị xóa không thương tiếc đấy nhé.
Đúng 1
Bình luận (0)
19 tháng 12 2021 lúc 20:17
Cho a,b,c là cá số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a\left(b+1\right)}+\sqrt{b\left(c+1\right)}+\sqrt{c\left(a+1\right)}\le\frac{3\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}{2}\)
Dấu '' = '' không xảy ra
Áp dụng BĐT AM-GM:
Dấu "=" không xảy ra.
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}\leq \frac{a+(b+1)}{2}+\frac{b+(c+1)}{2}+\frac{c+(a+1)}{2}=\frac{2(a+b+c)+3}{2}\)
\(< \frac{3(a+b+c+ab+bc+ac+abc+1)}{2}=\frac{3(a+1)(b+1)(c+1)}{2}\)
Ta có đpcm.
Em thưa anh:
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(\frac{a}{a+1}\)và \(\frac{1}{c+1}\), ta có:
\(\sqrt{\frac{a}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}=\sqrt{\frac{a}{a+1}.\frac{1}{c+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)
Tương tự, ta có: \(\sqrt{\frac{b}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right)\)
\(\sqrt{\frac{c}{\left(c+1\right)\left(b+1\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{b+1}\right)\)
Công vế theo vế, ta có: \(\sqrt{\frac{a}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}+\sqrt{\frac{b}{\left(b+1\right)\left(a+1\right)}}+\sqrt{\frac{c}{\left(c+1\right)\left(b+1\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{1}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{1}{b+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}+\sqrt{\frac{b}{\left(b+1\right)\left(a+1\right)}}+\sqrt{\frac{c}{\left(c+1\right)\left(b+1\right)}}\le\frac{3}{2}\)
Nhân cả hai vế với \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)(vì a,b,c>0 nên BĐT lúc này không đổi chiều), ta có đpcm.
19 tháng 8 2021 lúc 18:14
Cho a ; b là các số thực dương. Chứng minh rằng :
\(a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\le\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)
nếu đề cho a;b >=1
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\ge\sqrt{a}\\b\ge\sqrt{b}\end{cases}\Leftrightarrow a+b\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
mà \(a^2+b^2\ge2ab>\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\le\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\le\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)
đấy nếu cho a;b >= 1 nó vẫn đúng về các yếu tố nhưng hướng làm thiếu tự nhiên và dấu bằng kiểu không hiện ra tại điểm giới hạn là 1 ý
nhìn thì có vẻ bunhi nhưng lại ko phải
bạn thiếu đk rồi bạn ơi, bạn bấm thử máy tính cho a= 0,000001 và b=0,0000001 đi, nó ra kết quả ngược lại với đpcm
đề phải thêm a,b>=1 nha bạn, xem lại đi đúng ko
cho bốn số thực dương a,b,c,d chứng minh rằng \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\le\right)}\le\sqrt{ab}\)
Chứng minh rằng
\(\left|a+b\right|\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\) với mọi a, b
\(\left|a+b\right|\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Có \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
Khai căn 2 vế
\(\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2}=\left|a+b\right|\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng :
\(\frac{a}{\sqrt{4a^2+\left(b+c\right)^2}}+\frac{b}{\sqrt{4b^2+\left(c+a\right)^2}}+\frac{c}{\sqrt{4c^2+\left(a+b\right)^2}}\le\frac{3\sqrt{2}}{4}\)
\(P=\sum\frac{a}{\sqrt{\left(2a\right)^2+\left(b+c\right)^2}}\le\sqrt{2}\sum\frac{a}{2a+b+c}=\sqrt{2}\sum a\left(\frac{1}{a+b+a+c}\right)\le\frac{\sqrt{2}}{4}\sum\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)=\frac{3\sqrt{2}}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)