Nếu f(x) = g(x) với mọi x ϵ R thì \(\int f\left(x\right)=\int g\left(x\right)\) phải ko ạ?
Nếu đúng thì điều ngược lại có được ko?
1) Cho hàm số f(x) liên tục trên R+ thỏa mãn f '(x) \(\ge x+\dfrac{1}{x},\forall x\in R^+\) và f(1) = 1. CM : \(f\left(2\right)\ge\dfrac{5}{2}+ln2\).
2) Cho hàm số y = f(x) > 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn : \(g\left(x\right)=1+2018\int\limits^x_0f\left(t\right)dt\) , g(x) = f2 (x). Tính \(\int\limits^1_0\sqrt{g\left(x\right)}dx\).
3) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(1) = 1; \(\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=9\) và \(\int\limits^1_0x^3f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}\). Tính tích phân \(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\).
Hãy chon mệnh đề sai dưới đây:(mn chọn rồi giải thích từng đáp án giúp e với ạ, có thể bỏ qua đáp án A , còn đáp án B tại sao x phải >0 ạ , đáp án C e ko chắc lắm nên mn cứ gthich đi ạ, còn đáp án D có phải thêm đk của c không hay như vậy vẫn đúng ạ )
A. \(\int\limits^1_0x^2dx\ge\int\limits^1_0x^3dx\)
B. đạo hàm của F(x)= \(\int\limits^x_1\dfrac{dt}{1+t}\) là F'(x)= \(\dfrac{1}{1+x}\) (x>0)
C.hàm số f(x) liên tục trên \([-a;a]\) thì \(\int\limits^a_{-a}f\left(x\right)dx=2\int\limits_0^af\left(x\right)dx\)
D.nếu f(x) liên tục trên R thì \(\int\limits^b_af\left(x\right)dx+\int\limits^c_bf\left(x\right)dx=\int\limits^c_af\left(x\right)dx\)
Lời giải:
\(\int ^{1}_{0}x^2dx=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{x^3}{3}=\frac{1}{3}; \int ^{1}_{0}x^3dx=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{x^4}{4}=\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{3}>\frac{1}{4}\Rightarrow A\) đúng.
Câu B. Xét về mặt điều kiện thì với \(x>0\Rightarrow \frac{1}{x+1}\) luôn có nghĩa, lúc này hàm số mới có tích phân được.
Xét theo định nghĩa nguyên hàm thì luôn đúng vì \(F(x)=\int f(x)dx\Leftrightarrow f(x)=F'(x)\)
Câu D.
\(\int ^b_af(x)dx+\int ^c_bf(x)dx=F(b)-F(a)+F(c)-F(b)\)
\(=F(c)-F(a)=\int ^c_af(x)dx\)
Do đó D đúng.
Do đó câu C sai.
Nếu \(\int ^a_{-a}f(x)dx=2\int ^{a}_0f(x)dx\)
\(\Leftrightarrow F(a)-F(-a)=2F(a)-2F(0)\)
\(\Leftrightarrow F(a)+F(-a)=2F(0)\)
Giả sử cho \(F(x)=x^2\), \(a\neq 0\)thì điều trên hiển nhiên vô lý
Do đó C sai.
Cho p,q > 0 : \(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1;u,v\ge0\)
CHứng minh rằng \(u.v\le\dfrac{u^p}{p}+\dfrac{v^q}{q}\)
Cho f,g : \(\left[a,b\right]\rightarrow R\) Liên tục và p,q ở câu (a) ta luôn có :
\(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right).g\left(x\right)\right|dx\le\left(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|^pdx\right)^{\dfrac{1}{p}}\left(\int\limits^b_a\left|g\left(x\right)\right|^qdx\right)^{\dfrac{1}{q}}\)
a) Xét f(u) = \(\dfrac{u^p}{p}+\dfrac{v^q}{q}-uv,u\ge0\)
( Xem v > 0 vì v = 0 : BĐT luôn đúng )
f '(u) = up-1 - v = 0 \(\Leftrightarrow\) up-1 = v \(\Leftrightarrow\) u = \(v^{\dfrac{q}{p}}\)
Vẽ bảng biến thiên ( tự vẽ )
Vậy \(uv\le\dfrac{u^p}{p}+\dfrac{v^q}{q}\)
b)* Nếu \(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|^pdx=0\) hay \(\int\limits^b_a\left|g\left(x\right)\right|^qdx=0\)thì \(f\equiv0\)hay \(g\equiv0\) BĐT luôn đúng
Xét \(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|^pdx>0\) và \(\int\limits^b_a\left|g\left(x\right)\right|^qdx>0\)
Áp dụng BĐT câu (a) :
Với \(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{\left|f\left(x\right)\right|}{\left(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|^pdx\right)^{\dfrac{1}{p}}}>0\\v=\dfrac{\left|g\left(x\right)\right|}{\left(\int\limits^b_a\left|g\left(x\right)\right|^qdx\right)^{\dfrac{1}{q}}}>0\end{matrix}\right.\)
\(uv\le\dfrac{u^p}{p}+\dfrac{v^q}{q}\left(1\right)\)
Lấy tích phân từ a \(\rightarrow\) b 2 vế BĐT (1) ta được :
\(\int\limits^b_auvdx\le\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1\)
Vậy : \(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right).g\left(x\right)\right|dx\le\left(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)^p\right|dx\right)^{\dfrac{1}{p}}\left(\int\limits^b_a\left|g\left(x\right)^q\right|dx\right)^{\dfrac{1}{q}}\)
\(\Rightarrow\)(Đpcm )
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \(\left[0;2\right]\), thỏa mãn các điều kiện f(2) = 1 và \(\int\limits^2_0f\left(x\right)dx=\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=\dfrac{2}{3}\) Giá trị của f(1) bằng
Khi gặp dạng này, ý tưởng là sẽ tìm 1 hàm u(x) sao cho:
\(\int\limits^b_a\left[f'\left(x\right)-u\left(x\right)\right]^2dx=0\) (1)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)-u\left(x\right)=0\Rightarrow f'\left(x\right)=u\left(x\right)\)
Khai triển (1), đề cho sẵn \(\left[f'\left(x\right)\right]^2\) nên đại lượng \(2u\left(x\right).f'\left(x\right)\) và hàm \(u\left(x\right)\) sẽ được suy ra từ việc tích phân từng phần \(\int\limits f\left(x\right)dx\). Cụ thể:
Xét \(I=\dfrac{2}{3}=\int\limits^2_0f\left(x\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=x.f\left(x\right)|^2_0-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx=2-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}\) (2)
(Vậy đến đây hàm \(u\left(x\right)\) được xác định là dạng \(u\left(x\right)=k.x\)
Để tìm cụ thể giá trị k:
Từ (1) ta suy luận tiếp:
\(\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)-kx\right]^2dx=0\Leftrightarrow\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2-2k\int\limits^2_0x.f'\left(x\right)dx+\int\limits^2_0k^2x^2dx=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}-2k.\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3}k^2=0\) do \(\int\limits^2_0x^2dx=\dfrac{8}{3}\)
\(\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow u\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x\) coi như xong bài toán)
Do đó ta có:
\(\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)+\dfrac{1}{4}\int\limits^2_0x^2dx=\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{8}{3}=0\)
\(\Rightarrow\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2}x\right]^2dx=0\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2}x=0\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x^2+C\)
Thay \(x=2\Rightarrow1=1+C\Rightarrow C=0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x^2\)
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[0;1\right]\) thoả mãn \(f\left(1\right)=0\) ; \(\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=7\) và \(\int\limits^1_0x^2f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{3}\) . Tính \(I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\) .
Xét \(I=\int\limits^1_0x^2f\left(x\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=x^2dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=\dfrac{1}{3}x^3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}x^3.f\left(x\right)|^1_0-\dfrac{1}{3}\int\limits^1_0x^3.f'\left(x\right)dx=-\dfrac{1}{3}\int\limits^1_0x^3f'\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow\int\limits^1_0x^3f'\left(x\right)dx=-1\)
Lại có: \(\int\limits^1_0x^6.dx=\dfrac{1}{7}\)
\(\Rightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx+14\int\limits^1_0x^3.f'\left(x\right)dx+49.\int\limits^1_0x^6dx=0\)
\(\Rightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)+7x^3\right]^2dx=0\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)+7x^3=0\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=-7x^3\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\int-7x^3dx=-\dfrac{7}{4}x^4+C\)
\(f\left(1\right)=0\Rightarrow C=\dfrac{7}{4}\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^1_0\left(-\dfrac{7}{4}x^4+\dfrac{7}{4}\right)dx=...\)
cho hàm số f(x) có đạo hàm thỏa mãn \(\text{f'(x) - 2f(x) = x*}e^{3x}\) với mọi x∈R và f(0) = -1. Tính tích phân \(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)
\(f\left(0\right)=-1\Rightarrow f'\left(0\right)+2=0\Leftrightarrow f'\left(0\right)=-2\)
\(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^1_0\dfrac{f'\left(x\right)-x.e^{3x}}{2}dx=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0f'\left(x\right)dx-\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0x.e^{3x}dx=\dfrac{1}{2}f\left(x\right)|^1_0-\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0xe^{3x}dx\)
\(I_1=\int xe^{3x}dx\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=e^{3x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=\dfrac{1}{3}e^{3x}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_1=\dfrac{1}{3}xe^{3x}-\dfrac{1}{3}\int e^{3x}dx=\dfrac{1}{3}xe^{3x}-\dfrac{1}{9}e^{3x}\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}f\left(1\right)-\dfrac{1}{2}f\left(0\right)-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}xe^{3x}-\dfrac{1}{9}e^{3x}\right)|^1_0\)
Èo, tắc chỗ f(1) rồi, vậy đành phải biến đổi để tìm f(x) luôn vậy, hmm
Thử nhân 2 vế với \(e^{2x}\) xem nào:
\(e^{2x}f'\left(x\right)-2e^{2x}f\left(x\right)=x.e^{5x}\Leftrightarrow\left(e^{2x}.f\left(x\right)\right)'=x.e^{5x}\)
Lay nguyen ham 2 ve:
\(e^{2x}.f\left(x\right)=\int x.e^{5x}dx\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=u\\dv=e^{5x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}dx=du\\v=\dfrac{1}{5}e^{5x}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow e^{2x}.f\left(x\right)=\int x.e^{5x}dx=\dfrac{1}{5}x.e^{5x}-\dfrac{1}{5}\int e^{5x}dx=\dfrac{1}{5}xe^{5x}-\dfrac{1}{25}e^{5x}+C\)
\(f\left(0\right)=-1\Leftrightarrow f\left(0\right)=-\dfrac{1}{25}+C=-1\Leftrightarrow C=-\dfrac{24}{25}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{\dfrac{1}{5}xe^{5x}-\dfrac{1}{25}e^{5x}-\dfrac{24}{25}}{e^{2x}}\)
Vậy là xong rồi \(\Rightarrow f\left(1\right)=...\) , thay vô \(I=\dfrac{1}{2}f\left(1\right)-\dfrac{1}{2}.\left(-1\right)-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}xe^{3x}-\dfrac{1}{9}e^{3x}\right)|^1_0\) là được nha :)
Nguyên tắc:
\(g\left(x\right).f'\left(x\right)+h\left(x\right).f\left(x\right)=p\left(x\right)\)
Đầu tiên luôn biến đổi để \(f'\left(x\right)\) đứng riêng biệt 1 mình:
\(\Rightarrow f'\left(x\right)+\dfrac{h\left(x\right)}{g\left(x\right)}.f\left(x\right)=\dfrac{p\left(x\right)}{g\left(x\right)}\) (1)
Cần thêm/bớt, nhân/chia sao cho biến về dạng:
\(\left[u\left(x\right).f\left(x\right)\right]'=q\left(x\right)\)
\(\Leftrightarrow f'\left(x\right).u\left(x\right)+u'\left(x\right).f\left(x\right)=q\left(x\right)\)
\(\Leftrightarrow f'\left(x\right)+\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}.f\left(x\right)=\dfrac{q\left(x\right)}{u\left(x\right)}\)
Chỉ quan tâm vế trái, khi đó ta sẽ thấy hàm đằng trước \(f\left(x\right)\) chính là \(\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}\)
Đồng nhất \(\Rightarrow\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}=-2\)
Lấy nguyên hàm 2 vế \(\Rightarrow ln\left|u\left(x\right)\right|=-2x\Rightarrow u\left(x\right)=e^{-2x}\)
Do đó, ở bài toán ban đầu ta cần nhân 2 vế của (1) với \(u\left(x\right)=e^{-2x}\) nghĩa là:
\(f'\left(x\right)-2f\left(x\right)=x.e^{3x}\Leftrightarrow e^{-2x}.f'\left(x\right)-2e^{-2x}.f\left(x\right)=x.e^x\)
\(\Leftrightarrow\left[e^{-2x}.f\left(x\right)\right]'=x.e^x\)
Nguyên hàm 2 vế: \(\Rightarrow e^{-2x}.f\left(x\right)=\left(x-1\right)e^x+C\)
Thay \(x=0\Rightarrow1.f\left(0\right)=-1+C\Rightarrow C=0\)
\(\Rightarrow e^{-2x}.f\left(x\right)=\left(x-1\right)e^x\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x-1\right)e^{3x}\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^1_0\left(x-1\right)e^{3x}dx=...\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn \(\left[-1;3\right]\) thoả mãn \(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=3\) và \(\int\limits^3_1f\left(x\right)dx=6\) . Tính \(\int\limits^3_{-1}f\left(\left|x\right|\right)dx\)
\(\int\limits^3_{-1}f\left(\left|x\right|\right)dx=\int\limits^0_{-1}f\left(\left|x\right|\right)dx+\int\limits^1_0f\left(\left|x\right|\right)dx+\int\limits^3_1f\left(\left|x\right|\right)dx\)
\(=\int\limits^0_{-1}f\left(-x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^3_1f\left(x\right)dx\)
\(=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^3_1f\left(x\right)dx\)
\(=3+3+6=12\)
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và \(\int\limits^6_2f\left(x\right)dx=6\). Tính tích phân I = \(\int\limits^2_0f\left(2x+2\right)dx\)
Đặt \(2x+2=u\Rightarrow2xdx=du\Rightarrow dx=\dfrac{1}{2}du\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=2\\x=2\Rightarrow u=6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^6_2f\left(u\right).\dfrac{1}{2}du=\dfrac{1}{2}\int\limits^6_2f\left(u\right)du=\dfrac{1}{2}\int\limits^6_2f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}.6=3\)
Cho \(\int f\left(x\right)dx=x\sqrt{x^2+1}.\: \)Tìm \(I=\int x.f\left(x^2\right)dx\)
Giải giúp em với, em cảm ơn
\(I=\dfrac{1}{2}\int f\left(x^2\right)d\left(x^2\right)=\dfrac{1}{2}x^2\sqrt{\left(x^2\right)^2+1}+C=\dfrac{1}{2}x^2\sqrt{x^4+1}+C\)
Làm tiếp
\(t=\sqrt{x^4+1}\Rightarrow dt=\dfrac{1}{2}.\left(x^4+1\right)^{-\dfrac{1}{2}}.4.x^3=\dfrac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}}dx\Rightarrow dx=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{x^4+1}dt}{x^3}dt\)
\(\Rightarrow\int x.\dfrac{2x^4+1}{\sqrt{x^4+1}}dx=\dfrac{1}{2}\int x.\dfrac{2x^4+1}{\sqrt{x^4+1}}.\dfrac{\sqrt{x^4+1}}{x^3}dt=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x^4+1}{x^2}dt=\dfrac{1}{2}\int2x^2dt+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dt}{x^2}=\int\sqrt{t^2-1}dt+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dt}{\sqrt{t^2-1}}\)
Tất cả đã về dạng cơ bản
Xet \(I_1=\int\sqrt{t^2-1}dt\)
\(\sqrt{t^2-1}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2t^2-1}{\sqrt{t^2-1}}-\dfrac{1}{2\sqrt{t^2-1}}=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{t^2-1}+\dfrac{t^2}{\sqrt{t^2-1}}\right)-\dfrac{1}{2\sqrt{t^2-1}}\)
\(\left(t\sqrt{t^2-1}\right)'=\sqrt{t^2-1}+\dfrac{t^2}{\sqrt{t^2-1}}\)
\(\Rightarrow\int\sqrt{t^2-1}dt=\dfrac{1}{2}\int\left(t\sqrt{t^2-1}\right)'dt-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dt}{\sqrt{t^2-1}}=\dfrac{1}{2}\left(t\sqrt{t^2-1}\right)-\dfrac{1}{2}ln\left|t+\sqrt{t^2-1}\right|+C\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}t\sqrt{t^2-1}-\dfrac{1}{2}ln\left|t+\sqrt{t^2-1}\right|+\dfrac{1}{2}ln\left|t+\sqrt{t^2-1}\right|=\dfrac{1}{2}t\sqrt{t^2-1}=\dfrac{1}{2}.x^2\sqrt{x^4+1}+C\)
Một cách làm khác đến từ vị trí của dân chuyên Toán :v Hãi hơn cái cách mình làm bao nhiêu ra. À bạn ấy làm từ cái tính nguyên hàm \(\int x.\dfrac{2x^4+1}{\sqrt{x^4+1}}dx\) trở đi nhá!