\(I=\dfrac{1}{2}\int f\left(x^2\right)d\left(x^2\right)=\dfrac{1}{2}x^2\sqrt{\left(x^2\right)^2+1}+C=\dfrac{1}{2}x^2\sqrt{x^4+1}+C\)
Làm tiếp
\(t=\sqrt{x^4+1}\Rightarrow dt=\dfrac{1}{2}.\left(x^4+1\right)^{-\dfrac{1}{2}}.4.x^3=\dfrac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}}dx\Rightarrow dx=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{x^4+1}dt}{x^3}dt\)
\(\Rightarrow\int x.\dfrac{2x^4+1}{\sqrt{x^4+1}}dx=\dfrac{1}{2}\int x.\dfrac{2x^4+1}{\sqrt{x^4+1}}.\dfrac{\sqrt{x^4+1}}{x^3}dt=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x^4+1}{x^2}dt=\dfrac{1}{2}\int2x^2dt+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dt}{x^2}=\int\sqrt{t^2-1}dt+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dt}{\sqrt{t^2-1}}\)
Tất cả đã về dạng cơ bản
Xet \(I_1=\int\sqrt{t^2-1}dt\)
\(\sqrt{t^2-1}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2t^2-1}{\sqrt{t^2-1}}-\dfrac{1}{2\sqrt{t^2-1}}=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{t^2-1}+\dfrac{t^2}{\sqrt{t^2-1}}\right)-\dfrac{1}{2\sqrt{t^2-1}}\)
\(\left(t\sqrt{t^2-1}\right)'=\sqrt{t^2-1}+\dfrac{t^2}{\sqrt{t^2-1}}\)
\(\Rightarrow\int\sqrt{t^2-1}dt=\dfrac{1}{2}\int\left(t\sqrt{t^2-1}\right)'dt-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dt}{\sqrt{t^2-1}}=\dfrac{1}{2}\left(t\sqrt{t^2-1}\right)-\dfrac{1}{2}ln\left|t+\sqrt{t^2-1}\right|+C\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}t\sqrt{t^2-1}-\dfrac{1}{2}ln\left|t+\sqrt{t^2-1}\right|+\dfrac{1}{2}ln\left|t+\sqrt{t^2-1}\right|=\dfrac{1}{2}t\sqrt{t^2-1}=\dfrac{1}{2}.x^2\sqrt{x^4+1}+C\)
Một cách làm khác đến từ vị trí của dân chuyên Toán :v Hãi hơn cái cách mình làm bao nhiêu ra. À bạn ấy làm từ cái tính nguyên hàm \(\int x.\dfrac{2x^4+1}{\sqrt{x^4+1}}dx\) trở đi nhá!
