Bài 1: Nguyên hàm

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phan thu trang

1) \(\int\left(\frac{lnx}{2+lnx}\right)^2\)

2) \(\int\frac{dx}{\left(x+3\right)^3\left(x+5\right)^5}\)

3) \(\int\frac{xdx}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}}\)

4) \(\int\frac{dx}{x^3.\sqrt[3]{2-x^3}}\)

5)\(\int\sqrt[3]{\frac{2-x}{2+x}}.\frac{1}{\left(2-x\right)^2}dx\)

Nguyễn Hoàng Việt
27 tháng 12 2016 lúc 16:10

1) Đặt \(2+lnx=t\Leftrightarrow x=e^{t-2}\Rightarrow dx=e^{t-2}dt\)

\(I_1=\int\left(\frac{t-2}{t}\right)^2\cdot e^{t-2}\cdot dt=\int\left(1-\frac{4}{t}+\frac{4}{t^2}\right)e^{t-2}dt\\ =\int e^{t-2}dt-4\int\frac{e^{t-2}}{t}dt+4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt\)

Có:

\(4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt=-4\int e^{t-2}\cdot d\left(\frac{1}{t}\right)=-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}+4\int\frac{e^{t-2}}{t}dt\\ \Leftrightarrow4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt-4\int\frac{e^{t-2}}{t^{ }}dt=-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}\)

Vậy \(I_1=\int e^{t-2}dt-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}=e^{t-2}-\frac{4e^{t-2}}{t}+C\)

Nguyễn Hoàng Việt
27 tháng 12 2016 lúc 16:17

3) Đặt \(t=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}\Rightarrow t^2-1=\sqrt[3]{x^2}\Leftrightarrow x^2=\left(t^2-1\right)^3\)

\(d\left(x^2\right)=d\left[\left(t^2-1\right)^3\right]\Leftrightarrow2x\cdot dx=6t\left(t^2-1\right)^2\cdot dt\)

\(I_3=\int\frac{3t\left(t^2-1\right)^2}{t}dt=3\int\left(t^4-2t^2+1\right)dt=...\)

Nguyễn Hoàng Việt
27 tháng 12 2016 lúc 16:23

5) Đặt \(\frac{2+x}{2-x}=4t^3\Leftrightarrow4t^3=\frac{4}{2-x}-1\)

\(d\left(4t^3\right)=d\left(\frac{4}{2-x}-1\right)\Leftrightarrow3t^2dt=\frac{1}{\left(2-x\right)^2}dx\)

\(I_5=\int\frac{3t^2}{t\sqrt[3]{4}}dt=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\int tdt=...\)

Akai Haruma
27 tháng 12 2016 lúc 16:36

Bài 1:

\(A=\int \left ( \frac{\ln x}{\ln x+2} \right )^2dx=\int \left ( 1-\frac{2}{\ln x+2} \right )^2dx=x-4\int \frac{dx}{\ln x+2}+4\int \frac{dx}{(\ln x+2)^2}\) $(1)$

Sử dụng nguyên hàm từng phần với \(\left\{\begin{matrix}u=\frac{1}{\ln x+2}\\ dv=dx\end{matrix}\right.\) ta có: \(4\int \frac{dx}{\ln x+2}=4\left ( \frac{x}{\ln x+2}+\int \frac{dx}{(\ln x+2)^2} \right )\)$(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ \(\Rightarrow A=x-\frac{4x}{\ln x+2}+c\)

Bài 2: Bài toán tương đương với việc đi tìm \(\int \frac{dx}{x^5(x-2)^3}\)

Đặt \(x=\frac{1}{t}\Rightarrow B=-\int \left ( \frac{t^2}{1-2t} \right )^3dt=\int \frac{t^6dt}{(2t-1)^3}=\frac{1}{128}\int \frac{(2t)^6d(2t-1)}{(2t-1)^3}\)

Đến đây chắc dễ rồi.

P.s: có một cách khác là dùng hệ số bất định để tách thành hiệu các phân số. Nhưng cách này có vẻ khá cồng kềnh nên mình chưa thử =]]

Bài 3: Đặt \(\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}=t\Rightarrow x^2=(t^2-1)^3\)

Có: \(C=\int \frac{xdx}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2)}{t}=\frac{1}{2}\int \frac{d[(t^2-1)^3]}{t}=3\int (t^2-1)^2dt\)

\(\Leftrightarrow C=\frac{3t^5}{5}+3t-2t^3+c\)

Akai Haruma
27 tháng 12 2016 lúc 19:00

Vì bạn Hoàng bài 5 rồi nên mình xin phép làm nốt bài còn lại ok

Bài 4:

Phân tích được \(D=\int \frac{dx}{x^3\sqrt[3]{2-x^3}}=\frac{1}{2}\left ( \int \frac{dx}{\sqrt[3]{2-x^3}}+\int \frac{\sqrt[3]{(2-x^3)^2}}{x^3})x \right )\)

Xét \(\int \frac{\sqrt[3]{(2-x^3)^2}}{x^3}dx \) dùng nguyên hàm từng phần \(\left\{\begin{matrix}u=\sqrt[3]{(2-x^3)^2}\\ dv=\frac{dx}{x^3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \int \frac{\sqrt[3]{(2-x^3)^2}}{x^3}dx=\frac{-\sqrt[3]{(2-x^3)^2}}{2x^2}-\int \frac{dx}{\sqrt[3]{2-x^3}}\Rightarrow D=\frac{-\sqrt[3]{(2-x^3)^2}}{4x^2}+c\)

Hà Đức Thọ
28 tháng 12 2016 lúc 9:15

Các bạn làm rất tốt.

Cảm ơn mọi người nhiều!

Nguyễn Hoàng Việt
27 tháng 12 2016 lúc 16:24

Ý 2 và 4 chịu thua luôn khocroi


Các câu hỏi tương tự
Trần Thị Hằng
Xem chi tiết
Phan thu trang
Xem chi tiết
Phan thu trang
Xem chi tiết
Phan thu trang
Xem chi tiết
Guyo
Xem chi tiết
Phạm Trần Phát
Xem chi tiết
Thái Nguyên
Xem chi tiết
Hùng
Xem chi tiết
Hoa Thiên Lý
Xem chi tiết