Bài 1: Nguyên hàm

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hoa Thiên Lý

 Tìm nguyên hàm các hàm số hữu tỉ sau :

a) \(\int\frac{x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}dx\)

b) \(\int\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)^3\left(x+3\right)}dx\)

Phạm Thái Dương
22 tháng 1 2016 lúc 11:46

a) Mẫu số chứa các biểu thức có nghiệm  thực và không có nghiệm thực.

\(f\left(x\right)=\frac{x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A\left(x^2+1\right)+\left(x-1\right)\left(Bx+C\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\left(1\right)\)

Tay x=1 vào 2 tử, ta có : 2=2A, vậy A=1

Do đó (1) trở thành : 

\(\frac{1\left(x^2+1\right)+\left(x-1\right)\left(Bx+C\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{\left(B+1\right)x^2+\left(C-B\right)x+1-C}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\)

Đồng nhất hệ số hai tử số, ta có hệ :

\(\begin{cases}B+1=1\\C-B=2\\1-C=-1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}B=0\\C=2\\A=1\end{cases}\)\(\Rightarrow\)

\(f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x^2+1}\)

Vậy :

\(f\left(x\right)=\frac{x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}dx=\int\frac{1}{x-1}dx+2\int\frac{1}{x^2+1}=\ln\left|x+1\right|+2J+C\left(2\right)\)

* Tính \(J=\int\frac{1}{x^2+1}dx.\)

Đặt \(\begin{cases}x=\tan t\rightarrow dx=\left(1+\tan^2t\right)dt\\1+x^2=1+\tan^2t\end{cases}\)

Cho nên :

\(\int\frac{1}{x^2+1}dx=\int\frac{1}{1+\tan^2t}\left(1+\tan^2t\right)dt=\int dt=t;do:x=\tan t\Rightarrow t=arc\tan x\)

Do đó, thay tích phân J vào (2), ta có : 

\(\int\frac{x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}dx=\ln\left|x-1\right|+arc\tan x+C\)

Phạm Thái Dương
22 tháng 1 2016 lúc 14:54

b) Ta phân tích 

\(f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)^3\left(x+3\right)}=\frac{A}{\left(x-1\right)^3}+\frac{B}{\left(x-1\right)^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+3}\)\(=\frac{A\left(x+3\right)+B\left(x-1\right)\left(x+3\right)+C\left(x-1\right)^2\left(x+3\right)+D\left(x-1\right)^3}{\left(x-1\right)^3\left(x+3\right)}\)

Thay x=1 và x=-3 vào hai tử số, ta được :

\(\begin{cases}x=1\rightarrow2=4A\rightarrow A=\frac{1}{2}\\x=-3\rightarrow10=-64D\rightarrow D=-\frac{5}{32}\end{cases}\)

Thay hai giá trị của A và D vào (*) và đồng nhất hệ số hai tử số, ta cso hệ hai phương trình :

\(\begin{cases}0=C+D\Rightarrow C=-D=\frac{5}{32}\\1=3A-3B+3C-D\Rightarrow B=\frac{3}{8}\end{cases}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2\left(x-1\right)^3}+\frac{3}{8\left(x-1\right)^2}+\frac{5}{32\left(x-1\right)}-+\frac{5}{32\left(x+3\right)}\)

Vậy : 

\(\int\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)^3\left(x+3\right)}dx=\)\(\left(\frac{1}{2\left(x-1\right)^3}+\frac{3}{8\left(x-1\right)^2}+\frac{5}{32\left(x-1\right)}-+\frac{5}{32\left(x+3\right)}\right)dx\)

\(=-\frac{1}{a\left(x-1\right)^2}-\frac{3}{8\left(x-1\right)}+\frac{5}{32}\ln\left|x-1\right|-\frac{5}{32}\ln\left|x+3\right|+C\)

\(=-\frac{1}{a\left(x-1\right)^2}-\frac{3}{8\left(x-1\right)}+\frac{5}{32}\ln\left|\frac{x-1}{x+3}\right|+C\)

Trần Huỳnh Duy
8 tháng 6 2017 lúc 18:38

cac cau nghi gi ve cau hoi nay

Bùi Mạnh Hùng
14 tháng 10 2017 lúc 10:35

dễ

Do Huyen
15 tháng 10 2017 lúc 10:16

B

I am your faith
17 tháng 11 2017 lúc 10:54

B.What’s your name?

Trần Đức Mạnh
19 tháng 11 2017 lúc 20:50

cái này dẽ nhị,lớp 3 tớ học rùibanhqua

Nguyễn Ngô Thị Tường Vy
28 tháng 11 2017 lúc 20:52

what 's your name?

Nguyễn Thị Thu Thúy
4 tháng 12 2017 lúc 13:29

Đáp án: B

Trangg Trangg
18 tháng 1 2018 lúc 18:48

What's your name ?

UzumakiNaruto301
22 tháng 1 2018 lúc 22:11

dễ quá mà


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Hòa Bình
Xem chi tiết
Nguyễn Hòa Bình
Xem chi tiết
nanako
Xem chi tiết
Guyo
Xem chi tiết
Phạm Trần Phát
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Phan thu trang
Xem chi tiết
Phan thu trang
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết