cho các số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1
CMR:căn(2x2+xy+2y2)+căn(2y2+yz+2z2)+căn(2z2+zx+2x2)>=căn5
Những câu hỏi liên quan
cho các số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1 tìm min của biểu thức
P=√(2x2+xy+2y2) +√(2y2+yz+2z2)+ √(2z2+xz+2x2)
Ta có: \(2x^2+xy+2y^2=\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(x^2+2xy+y^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)
Theo BĐT Bunhacopxky: \(\left(x^2+y^2\right)\left(1+1\right)\ge\left(x+y\right)^2\Rightarrow\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)\ge\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\\ \Rightarrow2x^2+xy+2y^2=\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{5}{4}\left(x+y\right)^2\\ \Rightarrow\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)
Chứng minh tương tự:
\(\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)\\ \sqrt{2z^2+xz+2x^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+z\right)\)
Cộng vế theo vế, ta được: \(P\ge\sqrt{5}\left(x+y+z\right)=\sqrt{5}\cdot1=\sqrt{5}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Đúng 2
Bình luận (0)
Bạn tham khảo nhé
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-cac-so-duong-xyz-thoa-man-xyz1cmrcan2x2xy2y2can2y2yz2z2can2z2zx2x2can5.182722154737
Đúng 1
Bình luận (0)
cho x, y ,z là các số thực không âm thoả mãn x + y + z = 1. Tính giá trị biểu thức P= √2x2+x+1 + √2y2+y+1 + √2z2+z+1
Biểu thức này không có giá trị cụ thể. Bạn xem lại đề.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện
log
16
x
+
y
+
z
2
x
2
+
2
y
2
+
2...
Đọc tiếp
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện log 16 x + y + z 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + 1 = x x - 2 + y y - 2 + z z - 2
. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F = x + y - z x + y + z bằng?
A. - 1 3
B. 2 3
C. - 2 3
D. 1 3
cho x y z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3.Tìm GTLN của A= xy/căn(z2+3) + yz/căn(x2+3) + zx/căn(y2+3)
Tìm ba số x,y,z thỏa mãn \(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}\)và 2x2+2y2-3z2=-100
\(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}=>\dfrac{2x^2}{32}=\dfrac{2y^2}{32}=\dfrac{3z^2}{75}\)
AD t/c của dãy tỉ số bằng nhâu ta có
\(\dfrac{2x^2}{32}=\dfrac{2y^2}{32}=\dfrac{3z^2}{75}=\dfrac{2x^2+2y^2-3z^2}{32+32-75}=\dfrac{-100}{-11}=\dfrac{100}{11}\)
\(=>\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{400}{11}\\y=\dfrac{400}{11}\\z=\dfrac{500}{11}\end{matrix}\right.\)
Đúng 3
Bình luận (2)
Cho các số thực x, y dương và thỏa mãn
log
2
x
2
+
y
2
3
xy
+
x
2
+
2
log
2
x
2
+...
Đọc tiếp
Cho các số thực x, y dương và thỏa mãn log 2 x 2 + y 2 3 xy + x 2 + 2 log 2 x 2 + 2 y 2 + 1 ≤ log 2 8 xy .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x 2 - xy + 2 y 2 2 xy - y 2 .
Tìm các số nguyên x,y,z biết x2+ 2y2 +2z2 < 2xy+ 2yz + 2z
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2z+1\right)< 1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-1\right)^2< 1\)
Nếu tồn tại 1 trong 3 số \(x-y;y-z;z-1\) khác 0
Do x; y; z nguyên
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge1\) (vô lý)
\(\Rightarrow x-y=y-z=z-1=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Đúng 1
Bình luận (0)
cho bieu thuc A= x^2/(x+Y)+y^/(y+z)+z^2/(x+z)
Với x,y,z>0 thỏa mãn căn(xy)+căn(yz)+căn(zx)=2
GTNN A
8 tháng 12 2023 lúc 19:59
Cho các số dương \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện \(xy+yz+zx=671\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{x}{x^2-yz+2013}+\dfrac{y}{y^2-zx+2013}+\dfrac{z}{z^2-xy+2013}\ge\dfrac{1}{x+y+z}\)
Có \(VT=\dfrac{x^2}{x^3-xyz+2013x}+\dfrac{y^2}{y^3-xyz+2013y}+\dfrac{z^2}{z^3-xyz+2013z}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2013\left(x+y+z\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)\right]+2013\left(x+y+z\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
(vì \(2013=3.671=3\left(xy+yz+zx\right)\))
\(=\dfrac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+z}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{x+y+z}\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2-yz+2013}=\dfrac{1}{y^2-zx+2013}=\dfrac{1}{z^2-xy+2013}\)
\(\Leftrightarrow x^2-yz=y^2-zx=z^2-xy\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\) (với \(x,y,z>0\))
Vậy ta có đpcm.
Đúng 2
Bình luận (0)