Ta chứng minh bổ đề: Với \(|x|\ge2\)thì \(2x^2-4x\ge0\)

Với \(x\le-2\)thì nó đúng

Xét \(x\ge2\)thì ta có:

\(2x\left(x-2\right)\ge0\)(đúng)

Quay lại bài toán:

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\left(a+b\right)\left(ab+1\right)+5\)

\(\Leftrightarrow4a^2b^2+4a^2+4b^2-4a^2b-4ab^2-4a-4b-16\ge0\)

\(\Rightarrow VT=\left(a^2b^2-4a^2b+4a^2\right)+\left(a^2b^2-4b^2a+4b^2\right)+\left(a^2b^2-16\right)+\left(\frac{a^2b^2}{2}-4a\right)+\left(\frac{a^2b^2}{2}-4b\right)\)

\(\ge\left(ab-2a\right)^2+\left(ab-2b\right)^2+\left(a^2b^2-16\right)+\left(2a^2-4a\right)+\left(2b^2-4b\right)\ge0\)

Vậy ta có ĐPCM

ai tra loi giup voi

1. BĐT tương đương với \(6\left(a^2+b^2\right)-2ab+8-4\left(a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{a^2+1}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[a^2-4a\sqrt{b^2+1}+4\left(b^2+1\right)\right]+\left[b^2-4b\sqrt{a^2+1}+4\left(a^2+1\right)\right]\)\(+\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{b^2+1}\right)^2+\left(b-2\sqrt{a^2+1}\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

=> Đẳng thức không xảy ra

2. \(a^4+b^4+c^2+1\ge2a\left(ab^2-a+c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^2+1\ge2a^2b^2-2a^2+2ac+2a\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)

3. \(\left(a^5+b^5\right)\left(a+b\right)\ge\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)\left(2\right)\)

Ta có: \(\left(2\right)\Leftrightarrow a^6+a^5b+ab^5+b^6\ge a^6+a^4b^2+a^2b^4+b^6\)

\(\Leftrightarrow a^5b+ab^5\ge a^4b^2+a^2b^4\)\(\Leftrightarrow a^5b+ab^5-a^4b^2-a^2b^4\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^5b-a^4b^2+ab^5-a^2b^4\ge0\)\(\Leftrightarrow a^4b\left(a-b\right)+ab^4\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\left(2a\right)\)

Vì (2a) luôn đúng với mọi \(a,b\ge0\)nên (2) đc chứng mih.

mày điên à, làm gì có câu hỏi kiểu này?

mày bị điên rồi hả câu hỏi thế này làm gì có người giải được

mày hỏi cô giáo ấy

A)

\(2\left(A^2+B^2\right)\ge\left(A+B\right)^2\ge2\left(AB+BA\right)\\ \Leftrightarrow2A^2+2B^2\ge A^2+2AB+B^2\ge2AB+2BA\)

\(2A^2+2B^2\ge A^2+2AB+B^2\\ \Leftrightarrow A^2+B^2\ge2AB\\ \Leftrightarrow A^2+B^2-2AB\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(A-B\right)^2\ge0\) (LUÔN ĐÚNG) (1)

\(A^2+2AB+B^2\ge2AB+2BA\\ \Leftrightarrow A^2+B^2\ge2BA\\ \Leftrightarrow A^2+B^2-2BA\ge0\)

T đề nghị ban EDOGAWA CONAN không dùng nick k\này hỏi rồi lấy nick chính trả lời và tự tick nữa. T biết hai cậu là 1 mà không muốn nói thôi.

P/s:Nếu thế nữa t sẽ báo phynit.

Đặt : \(x=\dfrac{a+b}{a-b}\) ; \(y=\dfrac{b+c}{b-c}\) ; \(z=\dfrac{c+a}{c-a}\)

Ta có : \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=-1\)

Mà \(\left(x+y+z\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge2\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{\left(c-a\right)^2}\ge2\left(đpcm\right)\)