cho các số dưng thỏa abc=1.cm (a+1)(b+1)(c+1)\(\ge\)8
Những câu hỏi liên quan
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn abc=1 cm
(a+b)(b+c)(c+a) \(\ge\) 5(a+b+c)-7
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1
CM: \(\frac{1+a+b+c}{2}\)\(\ge\)\(\sqrt{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\)
Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn hệ thức : 1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) ≥ 2
Chứng minh abc ≤ 1/8
\(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\ge2\\ \Rightarrow\dfrac{1}{a+1}\ge\left(1-\dfrac{1}{b+1}\right)+\left(1-\dfrac{1}{c+1}\right)\\ \Rightarrow\dfrac{1}{a+1}\ge\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\)
Theo BĐT AM-GM ; ta có :
\(\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\ge 2\sqrt{\dfrac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\dfrac{8abc}{\left(a+1\right)\left(b+c\right)\left(c+1\right)}\\ \Rightarrow a.b.c\le\dfrac{1}{8}\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 8
CMR: \(\dfrac{a+b}{abc}\ge\dfrac{1}{4}\)
BDT <=> \(4\left(a+b\right)\ge abc\)
<=> \(4\left(a+b\right)\ge ab\left(8-a-b\right)\)
<=> \(4\left(a+b\right)\ge8ab-ab\left(a+b\right)\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(ab+4\right)\ge8ab\)
Áp dụng Bdt Bunhiacopxki, ta có:
\(\left(a+b\right)\left(ab+4\right)\ge\left(a\sqrt{b}+2\sqrt{b}\right)^2=b\left(a+2\right)^2\)
Cần chứng minh \(b\left(a+2\right)^2\ge8ab\)
<=> \(a^2+4a+4\ge8a\)
<=> \(a^2-4a+4\ge0\)
<=> \(\left(a-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 2; c = 4
Đúng 2
Bình luận (0)
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : abc=1
chứng minh: \(\dfrac{1}{ab+a}+\dfrac{1}{bc+b}+\dfrac{1}{ca+c}\ge\dfrac{3}{2}\)
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{y}{x};\dfrac{z}{y};\dfrac{x}{z}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\dfrac{1}{\dfrac{y}{x}\left(\dfrac{z}{y}+1\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{z}{y}\left(\dfrac{x}{z}+1\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{x}{z}\left(\dfrac{y}{x}+1\right)}\)
\(VT=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}=\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{xy+yz}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn ��≥12;��≥8ab≥12;bc≥8. Chứng mình rằng:left(a+b+cright)+2.left(dfrac{1}{ab}+dfrac{1}{bc}+dfrac{1}{ca}right)+dfrac{8}{abc}gedfrac{121}{12}
Đọc tiếp
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn . Chứng mình rằng:
\(\left(a+b+c\right)+2.\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+\dfrac{8}{abc}\ge\dfrac{121}{12}\)
Tách biểu thức như sau:
\(\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{12}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{8}{abc}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{b}{24}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{b}{16}+\dfrac{c}{8}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{2}{ca}\right)+\left(\dfrac{13a}{18}+\dfrac{13b}{24}\right)+\left(\dfrac{13b}{48}+\dfrac{13c}{24}\right)\)
Đúng 2
Bình luận (3)
(Nháp)\(a+2b+3c=20\)Với các tham số \(0< x,y,z< 1\) ta có:\(A=a+b+c+\dfrac{3}{a}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{4}{c}\)\(=xa+yb+zc+\left(\dfrac{3}{a}+\left(1-x\right)a\right)+\left(\dfrac{9}{2b}+\left(1-y\right)b\right)+\left(\dfrac{4}{c}+\left(1-z\right)c\right)\)\(\ge^{Cauchy}xa+yb+zc+2\left(\sqrt{3\left(1-x\right)}+\sqrt{\dfrac{9\left(1-y\right)}{2}}+\sqrt{4\left(1-z\right)}\right)\)Chọn các tham số x,y,z (0<x,y,z<1) sao cho:\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}\\\dfrac{3}{a}=\left(1-x\right)a\\\dfrac{9}{2b}=\left(1-y\right)b\\\dfrac{4}{c}=\left(1-z\right)c\end{matrix}\right.\) và \(a+2b+3c=20\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x;z=3x\\a=\sqrt{\dfrac{3}{1-x}}\\b=\sqrt{\dfrac{9}{2\left(1-y\right)}}\\c=\sqrt{\dfrac{4}{1-z}}\end{matrix}\right.\) và \(a+2b+3c=20\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x;z=3x\\a=\sqrt{\dfrac{3}{1-x}}\\b=\sqrt{\dfrac{9}{2\left(1-2x\right)}}\\c=\sqrt{\dfrac{4}{1-3x}}\end{matrix}\right.\) và \(a+2b+3c=20\)\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{3}{1-x}}+2\sqrt{\dfrac{9}{2\left(1-2x\right)}}+3\sqrt{\dfrac{4}{1-3x}}=20\)Bấm máy ta được \(x=\dfrac{1}{4}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2};z=\dfrac{3}{4}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{\dfrac{3}{1-\dfrac{1}{4}}}=2\\b=\sqrt{\dfrac{9}{2\left(1-2.\dfrac{1}{4}\right)}}=3\\c=\sqrt{\dfrac{4}{1-3.\dfrac{1}{4}}}=4\end{matrix}\right.\)
Đúng 2
Bình luận (1)
Cho 3 số a,b,c không âm thỏa mãn abc = 1
CM : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge a+b+c\)
Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1. CM:\(a^3+b^3+c^3\ge a+b+c\)
(a+b+c)^3= a^3+b^3 +c^3 +3abc( a+b+c)
= a^3 +b^3 +c^3 + 3(a+b+c)
Th1 nếu a+b+c=0
thì a^3 + b^3 +c^3 = a+b+c
TH2 a+b+c>0
thì a^3 +b^3 +c^3 > a+b+c
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\)
Chứng minh rằng: \(abc\ge\frac{1}{8}\)
\(\frac{1}{a+1}\ge1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge\frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
hai cái kia tương tự rồi nhân cả ba cái lại ra được đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)