Question

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 8

CMR: \(\dfrac{a+b}{abc}\ge\dfrac{1}{4}\)

Answer 1

BDT <=> \(4\left(a+b\right)\ge abc\)

<=> \(4\left(a+b\right)\ge ab\left(8-a-b\right)\)

<=> \(4\left(a+b\right)\ge8ab-ab\left(a+b\right)\)

<=> \(\left(a+b\right)\left(ab+4\right)\ge8ab\)

Áp dụng Bdt Bunhiacopxki, ta có:

\(\left(a+b\right)\left(ab+4\right)\ge\left(a\sqrt{b}+2\sqrt{b}\right)^2=b\left(a+2\right)^2\)

Cần chứng minh \(b\left(a+2\right)^2\ge8ab\)

<=> \(a^2+4a+4\ge8a\)

<=> \(a^2-4a+4\ge0\)

<=> \(\left(a-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 2; c = 4