a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

góc DAB chung

=>ΔADB đồng dạng với ΔAEC

=>AD/AE=AB/AC

=>AD/AB=AE/AC

=>ΔADE đồng dạng vơi ΔABC

b: Xet ΔHEB vuông tại E và ΔHDC vuông tại D co

góc EHB=góc DHC

=>ΔHEB đồng dạng vơi ΔHDC

=>HE/HD=HB/HC

=>HE*HC=HB*HD

Xét tứ giác BHCK co

BH//CK

BK//CH

=>BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

=>H,M,K thẳng hàng

ΔAED đồg dạng với ΔACB

=>góc AED=góc ACB

d: Xét ΔBEC vuông tại E và ΔBOA vuông tại O có

góc EBC chung

=>ΔBEC đồng dạng với ΔBOA

=>BE/BO=BC/BA

=>BE*BA=BO*BC

Xét ΔCDB vuông tại D và ΔCOA vuông tại O có

góc OCA chung

=>ΔCDB đồng dạng với ΔCOA

=>CD/CO=CB/CA

=>CO*CB=CD*CA

=>BE*BA+CD*CA=BC^2

a) Xét tam giác ADB và tam giác AEC có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0\\\widehat{A}chung\end{cases}\Rightarrow\Delta ADB}\)đồng dạng \(\Delta AEC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)( các đoạn tương ứng tỉ lệ )
\(\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)

Xét tam giác AED và tam giác ACB có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{A}chung\\\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta AED}\)đồng dạng \(\Delta ACB\left(c.g.c\right)\)

b) Xét tam giác HEB và tam giác HDC có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{EHB}=\widehat{DHC}\left(2gocdoidinh\right)\\\widehat{HEB}=\widehat{HDC}=90^0\end{cases}}\Rightarrow\Delta HEB~\Delta HDC\left(g.g\right)\) 

\(\Rightarrow\frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\)( các đoạn tương ứng tỉ lệ )
\(\Rightarrow HE.HC=HB.HD\)

c)  Ta có: \(\hept{\begin{cases}KC\perp AC\left(gt\right)\\BD\perp AC\left(gt\right)\end{cases}\Rightarrow}KC//BD\)( từ vuông góc đến song song )

\(\Rightarrow KC//BH\left(H\in BD\right)\)

CMTT \(HC//BK\)

Xét tứ giác BHCK có:

\(\hept{\begin{cases}KC//BH\left(cmt\right)\\HC//BK\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow BHCK}\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow BC\)giao HK tại trung điểm mỗi đường (tc)

Mà M là trung điểm của BC (gt)

\(\Rightarrow M\)là trung điểm của HK và M thuộc HK

\(\Rightarrow H,M,K\)thẳng hàng

d) BHCK nha bạn

Vì H là giao điểm của 2 đường cao BD và EC

\(\Rightarrow H\)là trực tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow AH\perp BC\)(tc)  (1)

Để BHCK là hình thoi \(\Leftrightarrow HK\perp BC\)

\(\Leftrightarrow HM\perp BC\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow A,H,M\)thẳng hàng 

=> AM vừa là đường cao, vừa là trung tuyến của tam giác ABC

=> tam giác ABC cân tại A 

Để BHCK là hình thoi thì tam giác ABC cân tại A

+) Để BHCK là hình chữ nhật \(\Leftrightarrow\widehat{BHC}=90^0\)

\(\Leftrightarrow BH\perp AC\)mà \(BE\perp AC\)

\(\Rightarrow H\equiv E\)MÀ \(BH\perp AC\)tại D

\(\Rightarrow BE\perp AC\)

\(\Rightarrow AB\perp AC\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông tại A

Vậy để BHCK là hình chữ nhật thì tam giác ABC vuông tại A.