\(M=\dfrac{\left(ab\right)^2}{abc^2\left(a+b\right)}+\dfrac{\left(ac\right)^2}{acb^2\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(bc\right)^2}{a^2bc\left(b+c\right)}\)

\(M\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{ab+bc+ca}{2abc}=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{6abc}\ge\dfrac{9abc}{6abc}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Bài này mẫu số là \(\left(a+b+c\right)^3\) thì đúng hơn, mũ 2 cách làm vẫn y hệt nhưng cho 1 kết quả rất xấu

\(A\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{24\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(=3\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{192}{a+b+c}-48\)

\(=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{96}{a+b+c}+\dfrac{96}{a+b+c}+\left(3-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)\left(a+b+c\right)^2-48\)

\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{96^2.\sqrt{6}}{3}}+\left(3-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right).3\left(ab+bc+ca\right)-48=...\)

Ta có \(\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}=\sqrt{bc+a^2bc}=\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}\)

\(=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

Đặt BT đề cho là P

\(\Leftrightarrow P=\sum\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\sum\sqrt{\dfrac{a}{a+b}\cdot\dfrac{a}{a+c}}\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{b+a}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{c+b}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)

Bạn quy đồng làm từ từ là đc

\(P=\dfrac{a^4}{a^2b^2+a^2c^4}+\dfrac{b^4}{b^2c^2+a^2b^2}+\dfrac{c^4}{a^2+b^2}-\dfrac{12abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(P\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}-\dfrac{12abc}{2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}}\)

\(P\ge\dfrac{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}{2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}-\dfrac{3}{2}=0\)

\(P_{min}=0\) khi \(a=b=c\)

1.

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\)

Ta có:

\(\left(ab-1\right)^2=a^2b^2-2ab+1=a^2b^2-a^2-b^2+1+a^2+b^2-2ab\)

\(=\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)+\left(a-b\right)^2\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\)

Tương tự: \(\left(bc-1\right)^2\ge\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\)

\(\left(ca-1\right)^2\ge\left(c^2-1\right)\left(a^2-1\right)\)

Do \(a;b;c\ge1\)  nên 2 vế của các BĐT trên đều không âm, nhân vế với vế:

\(\left[\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\right]^2\ge\left[\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\right]^2\)

\(\Rightarrow\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Câu 2 em kiểm tra lại đề có chính xác chưa

2.

Câu 2 đề thế này cũng làm được nhưng khá xấu, mình nghĩ là không thể chứng minh bằng Cauchy-Schwaz được, phải chứng minh bằng SOS

Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=max\left\{a;b;c\right\}\)

\(\Rightarrow\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\) (1)

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(\dfrac{1}{a}-\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{b+c}{ac+b^2}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{c+a}{ab+c^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b\left(c-a\right)}{a^3+abc}+\dfrac{c\left(a-b\right)}{b^3+abc}+\dfrac{a\left(b-c\right)}{c^3+abc}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)+a\left(c-b\right)}{a^3+abc}+\dfrac{c\left(a-b\right)}{b^3+abc}+\dfrac{a\left(b-c\right)}{c^3+abc}\ge0\)

\(\Leftrightarrow c\left(b-a\right)\left(\dfrac{1}{a^3+abc}-\dfrac{1}{b^3+abc}\right)+a\left(c-b\right)\left(\dfrac{1}{a^3+abc}-\dfrac{1}{c^3+abc}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)\left(b^3-a^3\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)\left(c^3-a^3\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(a^2+ac+c^2\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\ge0\)

Đúng theo (1)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

@Nguyễn Thanh Hằng đọc xong xóa đii nha