Cho: \(\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+\left(x_3p-y_3q\right)^{2n}+...+\left(x_mp-y_mq\right)^{2n}\le0\) với mọi m, n \(\in\)N*
Chứng minh rằng : \(\frac{x1+x2+x3+...+xm}{y1+y2+y3+...+ym}\)=\(\frac{q}{p}\)
\(Cho\)
\(\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+......+\left(x_mp-y_mq\right)^{2n}\le0\)
CMR\(\frac{x_1+x_2+.....+x_m}{y_1+y_2+........+x_m}=\frac{q}{p}\)
Bạn thêm điều kiện m,n là số tự nhiên nhé!
Giải như sau :
Với n là số tự nhiên thì ta luôn có 2n là số chẵn.
Xét trong giả thiết thì các hạng tử có số mũ chẵn.
Vậy thì ta có : \(\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+...+\left(x_mp-y_mq\right)^{2n}\ge0\)
Kết hợp với giả thiết bài toán ta được \(\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+...+\left(x_mp-y_mq\right)^{2n}=0\)
\(\Leftrightarrow x_ip-y_iq=0\) (i = 1,2,...,m)
\(\Leftrightarrow x_ip=y_iq\Leftrightarrow\frac{x_i}{y_i}=\frac{q}{p}\)
Ta thay i = 1,2,...,m thì được : \(\frac{q}{p}=\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=...=\frac{x_m}{y_m}=\frac{x_1+x_2+...+x_m}{y_1+y_2+...+y_m}\) (áp dụng tính chất dãy tỉ sô bằng nhau)
hay : \(\frac{x_1+x_2+...+x_m}{y_1+y_2+...+y_m}=\frac{q}{p}\) (đpcm)
Cho \(\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+...+\left(x_mp+y_mq\right)\)
CMR:\(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{y_1+y_2+...+y_2}=\frac{q}{p}\)
Ta có: \(\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}\ge0;\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}\ge0;....;\left(x_mp+y_mq\right)^{2n}\ge0\)
=>(x1p-y1q)2n+(x2p-y2q)2n+...+(xmp-ymq)2n > hoặc = 0
Mà theo đề (x1p-y1q)2n+(x2p-y2q)2n+...+(xmp-ymq)2n < hoặc = 0
nên: (x1p-y1q)2n+(x2p-y2q)2n+...+(xmp-ymq)2n=0
=>x1p-y1q=0 =>x1=y1q/p
x2p-y2q=0 =>x2=y2q/p
........
xmp-ymq=0 =>xm=ymq/p
Suy ra: \(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{y_1+y_2+....+y_n}=\frac{\frac{y_1q}{p}+\frac{y_2q}{p}+...+\frac{y_mq}{p}}{y_1+y_2+...+y_m}=\frac{\frac{q}{p}\left(y_1+y_2+....+y_m\right)}{y_1+y_2+...+y_m}=\frac{q}{p}\)
=>điều phải chứng minh
ah quen!thieu dieu kien Cho......\(\le0\)voi moi m,n thuocN*
\(\left(x_1-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+....+\left(x_mp-y_mq\right)^{2n} \le0\) với m,n\(\in\)N*
CMR
\(\frac{x_1+x_2+...+x_m}{y_1+y_2+...+y_m}=\frac{p}{q}\)
Cuộc thi môn Tiếng Anh,toán vòng 1,... vào ngày 17/1!!
Đơn đăng kí :trả lời 5 câu hỏi tiếng anh đơn giản này (Ai không trả lời thì nên đánh dấu câu hỏi này nhé) (Nếu không trả lời hay đánh dấu thì rất khó biết lịch thi và kết quả)
1. Mrs. Nga usually...............................(watch) TV after dinner.
2. Where ...............................(be) Tom?
He............................(do) his homework in his room.
3. In England the sun ..............................................(not shine) every day.
4. You should.............................(help) old people.
5. There .........(be) two bedrooms in my house.
còn đây là đề môn toán
câu 1 :cho \(\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+\left(x_3p-y_3q\right)^{2n}+....+\left(x_mp-y_mq\right)^{2n}\le0\) với \(m,n\in\)N*
CHỨNG MINH RẰNG \(\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_m}{y_1+y_2+y_3+...+y_m}=\frac{q}{p}\)
câu 2 cho\(\Delta ABC,\widehat{A}=120^o\)các đươngf phân giác AD,BE,CF
TÍNH CHU VI\(\Delta D\text{EF}\)BIẾT DE= 21;DF =20
thời gian làm bài :vô tư
Thời gian công bố kết quả tối nay 9 h 30 TỐI NAY HOẶC 8H 30 NGÀY MAI
Giải thưởng :(báo sau) >>>>
(Cần sự tài chợ SP của các CTV hay các bạn trên 2500 điểm hỏi đáp )( các bạn tài trợ cũng có thể tham gia
1. Mrs. Nga usually......watches.........................(watch) TV after dinner.
2. Where ........is.......................(be) Tom?
He...........is doing.................(do) his homework in his room.
3. In England the sun ..........doesn't.....shine..............................(not shine) every day.
4. You should.......help......................(help) old people.
5. There .........(be) two bedrooms in my house.
1. Mrs. Nga usually.....watches..........................(watch) TV after dinner.
2. Where ..........does.....................(be) Tom?
He.....................does.......(do) his homework in his room.
3. In England the sun ......doesn't..shine...............(not shine) every day.
4. You should.....help........................(help) old people.
5. There ..are.......(be) two bedrooms in my house.
5. There ....are.....(be) two bedrooms in my house.
Cho \(M=\dfrac{1.3.5.7.....\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right).....2n}\) với \(n\in\) N* .
Chứng minh rằng \(M< \dfrac{1}{2^{n-1}}\)
Lời giải:
\(M=\frac{1.2.3.4.5.6.7...(2n-1)}{2.4.6...(2n-2).(n+1)(n+2)....2n}=\frac{(2n-1)!}{2.1.2.2.2.3...2(n-1).(n+1).(n+2)...2n}\)
\(=\frac{(2n-1)!}{2^{n-1}.1.2...(n-1).(n+1).(n+2)....2n}=\frac{(2n-1)!}{2^{n-1}.1.2...(n-1).n(n+1)..(2n-1).2}\)
\(=\frac{(2n-1)!}{2^{n-1}.(2n-1)!.2}=\frac{1}{2^{n-1}.2}<\frac{1}{2^{n-1}}\)
Ta có đpcm.
\(Cho\left(x_1\cdot a-y_1\cdot b\right)^{2n}+\left(x_2\cdot a-y_2\cdot b\right)^{2n}+\left(x_3\cdot a-y_3\cdot b\right)^{2n}+......+\left(x_m\cdot a-y_m\cdot b\right)^{2n}\le0\)
Với m,n ∈ N*
Chứng minh: \(\frac{x_1+x_2+x_3+.....+x_m}{y_1+y_2+y_3+.....+y_m}=\frac{b}{a}\)
Chứng minh rằng:
\(\frac{1.3.5.7.....\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right).\left(n+2\right).\left(n+3\right)....2n}=\frac{1}{2^n}\)
(với n ϵ N*)
a) Chứng minh rằng:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
b) Áp dụng chứng minh rằng nếu \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\) thì \(\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}\) với mọi n thuộc N
a)(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc=a(ab+bc+ac)+b(ab+bc+ac)+c(ab+bc+ac)-abc
=a2b+abc+a2c+ab2+b2c+abc+abc+bc2+ac2-abc
=(abc+a2b)+(a2c+ac2)+(b2c+ab2)+(bc2+abc)+(abc-abc)
=ab(c+a)+ac(c+a)+b2(c+a)+bc(c+a)
=(ab+ac+b2+bc)(c+a)
=(a+b)(b+c)(c+a)
a) \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)-abc=a^2b+abc+a^2c+ab^2+b^2c+abc+abc+c^2b+c^2a-abc\)
\(=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+a^2c+2abc=b\left(a^2+2ac+c^2\right)+b^2\left(a+c\right)+ac\left(a+c\right)\)
\(=b\left(a+c\right)^2+b^2\left(a+c\right)+ac\left(a+c\right)=\left(a+c\right)\left(ab+bc+b^2+ac\right)\)
\(=\left(a+c\right)\left[b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)
b) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)=abc\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)(áp dụng từ câu a) )
\(\Rightarrow a+b=0\)hoặc \(b+c=0\)hoặc \(c+a=0\)
Đặt \(a^{2n+1}=x;b^{2n+1}=y;c^{2n+1}=z\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)-xyz=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)( áp dụng câu a) )
\(\Rightarrow x+y=0\)hoặc \(y+z=0\)hoặc \(z+x=0\)
Với \(x+y=0\Leftrightarrow a^{2n+1}+b^{2n+1}=0\Leftrightarrow\left(a+b\right).A=0\)với A là một đa thứcMà ta lại có \(a+b=0\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}=0\)\(\Rightarrow\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{c^{2n+1}}\)(luôn đúng)
Tương tự với các trường hợp còn lại, ta có điều phải chứng minh.
\(\)
Chứng minh rằng:
\(\frac{1.3.5.7.9.....\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right).....2n}=\frac{1}{2^n}\)
Ta có:
\(1.3.5.7.9...\left(2n-1\right)=\frac{\left[1.3.5.7.9....\left(2n-1\right)\right].\left[2.4.6.8...2n\right]}{2.4.6.8....2n}=\frac{1.2.3.4.5.6....2n}{\left(2.1\right).\left(2.2\right).\left(2.3\right)\left(2.4\right)....\left(2.n\right)}\)
=> \(1.3.5.7.9...\left(2n-1\right)=\frac{1.2.3.4.5.6....2n}{\left(2.2.2.....2\right).\left(1.2.3.4.....n\right)}=\frac{\left(1.2.3.4.....n\right)\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right).....2n\right]}{2^n.\left(1.2.3.4....n\right)}\)
=> \(1.3.5.7.9...\left(2n-1\right)=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right).....2n}{2^n}\)
=> \(\frac{1.3.5.7.9...\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right).....2n}=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right).....2n}{2^n\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right).....2n\right]}=\frac{1}{2^n}\)(đpcm)