Ta có : \(y=\dfrac{x+3}{x+1}\\ \Rightarrow y\left(x+1\right)=x+3\\ \Leftrightarrow xy+y-x-3=0\\ \Leftrightarrow\left(xy+y\right)-\left(x+1\right)-2=0\\ \Leftrightarrow y\left(x+1\right)-\left(x+1\right)=2\\ \Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y-1\right)=2.1=1.2\)

\(\left[{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(y-1\right)=2.1\\\left(x+1\right)\left(y-1\right)=1.2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)=2\\\left(y-1\right)=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)=1\\\left(y-1\right)=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\left(TM\right)\)

Vậy x=1 và y=2 hoặc x=0 và y=3

a) x² + 1 = 2^y (1)

+) y = 0, thay (1) ta được: x² + 1 = 2⁰ = 1

=> x² = 0 => x = 0 (TM)

+) y = 1, thay vào (1) ta được: x² + 1 = 2¹ = 2

=> x² = 1; x \(\in N\) nên x = 1 (TM)

+) y \(\ge2\) thì 2^y chẵn và 2^y chia hết cho 4 (*)

x² lẻ => x² chia 4 dư 1 => 2^y = x² + 1 chia 4 dư 2, mâu thuẫn với (*)

Vậy (x;y)=(0;0); (x;y)=(1;1)

b) x² = 4^y + 5 (2)

+) y = 0 không thỏa mãn x \(\in N\)

+) y = 1, thay vào (2) ta được: x² = 4¹ + 5 = 9

\(x\in N\) nên x = 3 (TM)

+) \(y\ge2\) thì 4^y chẵn và 4^y + 5 chia 8 dư 5 (-)

x² lẻ => 4^y + 5 = x² chia 8 dư 1, mâu thuẫn với (-)

Vậy (x;y)=(3;1)

c) 5x³ = 3^y + 317 (3)

Ta thấy 3^y + 317 = 5x³ tận cùng là 0 hoặc 5

=> 3^y tận cùng là 3 hoặc 8

3^y lẻ nên 3^y tận cùng là 3 => y = 4k + 1 (k \(\in N\))

+) k = 0 thì y = 1, thay vào (3) được: 5x³ = 3¹ + 317 = 320

=> x³ = 64 => x = 4 (TM)

+) k \(\ge1\)

Ta có: \(3^{4k+1}=81^k.3\equiv1.3\left(mod16\right)\equiv3\left(mod16\right)\)

317 \(\equiv13\left(mod16\right)\)

Do đó, \(5x^3=3^y+317=3^{4k+1}+317⋮16\)

Mà (5;16)=1 nên \(x^3⋮16\)\(\Rightarrow x⋮4\Rightarrow3^y+317=5x^3⋮32\)

317 chia 32 dư 29 nên 81^k.3 = 3^y chia 32 dư 3

\(\Rightarrow81^k⋮32\), vô lý vì 81^k lẻ \(\forall k\in N\)

Vậy (x;y)=(4;1)

a) Ta có hệ phương trình:

x/8 = y/12
x + y = 60 Giải bằng cách thay x/8 bằng y/12 trong phương trình thứ hai, ta có:
(y/12)*8 + y = 60
2y + y = 60
y = 20 Thay y = 20 vào x + y = 60, ta có x = 40. Vậy kết quả là x = 40, y = 20.
b) Ta có hệ phương trình:

x/3 = y/6
x*y = 162 Thay x/3 bằng y/6 trong phương trình thứ hai, ta có:
y^2 = 324
y = 18 Thay y = 18 vào x/3 = y/6, ta có x = 9. Vậy kết quả là x = 9, y = 18.
c) Ta có hệ phương trình:

x/y = 2/5
xy = 40 Từ phương trình thứ nhất, ta có x = 2y/5. Thay vào xy = 40, ta có:
(2y/5)*y = 40
y^2 = 100
y = 10 Thay y = 10 vào x = 2y/5, ta có x = 4. Vậy kết quả là x = 4, y = 10.
d) Ta có hệ phương trình:

x/7 = y/6
y/8 = z/5
x + y - z = 37 Thay x/7 bằng y/6 trong phương trình thứ ba, ta có x = (7/6)*y - z. Thay y/8 bằng z/5 trong phương trình thứ ba, ta có y = (8/5)*z. Thay x và y vào phương trình thứ ba, ta được:
(7/6)*y - z + y - z = 37
(19/6)*y - 2z = 37 Thay y = (8/5)*z vào phương trình trên, ta có:
(19/6)*(8/5)*z - 2z = 37
z = 30 Thay z = 30 vào y = (8/5)*z, ta có y = 48. Thay y và z vào x/7 = y/6, ta có x = 35. Vậy kết quả là x = 35, y = 48, z = 30.
e) Ta có hệ phương trình:

10x = 15y = 21z
3x - 5z + 7y = 37 Từ phương trình thứ nhất, ta có:
x = 3z/7
y = 3z/5 Thay x và y vào phương trình thứ hai, ta có:
3z/73 - 5z + 73z/5 = 37
3z - 5z + 12z - 245 = 0
10z = 245
z = 24.5 Thay z = 24.5 vào x = 3z/7 và y = 3z/5, ta có x = 10.5 và y = 14.7. Tuy nhiên, kết quả này không phải là một cặp số nguyên. Vậy hệ phương trình không có nghiệm thỏa mãn.

\(x^2=4^y+5\)

\(\Leftrightarrow x^2-4^y=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2^y\right)\left(x-2^y\right)=5\)

\(\Rightarrow\left(x+2^y,x-2^y\right)=\left(1,5;5,1;-1,-5;-5,-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x,y\right)=\left(3,1;-3,1\right)\)

ta thấy x² chia 4 dư 0 hoặc 1 hay là x² có dạng 4k+1 hoặc 4k

mà 4^y chia 5 dư 4 hoặc 1 nên có dạng 4k+4 hoặc 4k+1

nên phương trình vô nghiệm

Với y chẵn thì ta đặt \(y=2k\left(k\in N\right)\)

\(\Rightarrow x^2-2^{2k}=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2^k\right)\left(x-2^k\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2^k;x-2^k\right)=\left(1,-1;-1,1\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\k=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)

Tương tự cho trường hợp y lẻ xong rồi kết luận.

5 x y + y +14 =37 x8

y x (5+1) +14 =296

y x 6 +14 =296

y x 6 =296-14

y x 6 = 282

y = 282:6

y=47

là 5 cơ mà lại 6 là sai

5 x y + y +14 =37 x8

y x (5+1) +14 =296

y x 6 +14 =296

y x 6 =296-14

y x 6 = 282

y = 282:6

y=47