Biến đổi tương đương:

\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}\ge3\)

b/ \(VT=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+ac+bc\right)}{9\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)^2}}\ge\frac{8.3}{9}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

\(\dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}\ge1\)

\(\Leftrightarrow2\ge\dfrac{a+b}{a+b+1}+\dfrac{b+c}{b+c+1}+\dfrac{c+a}{c+a+1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+a+b}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{\left(b+c\right)^2+b+c}+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{\left(c+a\right)^2+c+a}\)

\(\Rightarrow2\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+a+b+c}\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+2\left(a+b+c\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)+4\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\)đpcm

Bài 1 với bài 2 như nhau, đăng làm gì cho tốn công :))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)

\(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ca}{b}}=2a\)

\(\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ac}{b}.\frac{bc}{a}}=2c\)

Cộng vế với vế ta được :

\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)(đpcm)

a) Giả sử:

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng )

=> đpcm

b, Bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương \(\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ca}{b};\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ab}{c};\frac{ca}{b}\)và \(\frac{ab}{c}\)

Ta lần lượt có : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c;\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ab}{c}}=2b;\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}}\)

Cộng từng vế ta đc bất đẳng thức cần chứng minh . Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c\)

c, Với các số dương \(3a\) và \(5b\), Theo bất đẳng thức Cauchy ta có \(\frac{3a+5b}{2}\ge\sqrt{3a.5b}\)

\(\Leftrightarrow\left(3a+5b\right)^2\ge4.15P\)( Vì \(P=a.b\)) 

\(\Leftrightarrow12^2\ge60P\)\(\Leftrightarrow P\le\frac{12}{5}\Rightarrow maxP=\frac{12}{5}\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(3a=5b=12:2\)

\(\Leftrightarrow a=2;b=\frac{6}{5}\)

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac}=\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ac\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c\)

\(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+ac+bc}\ge\frac{\left(ab+ac+bc\right)^2}{ab+ac+bc}=ab+ac+bc\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Cách khác: sử dụng AM-GM:

\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}\cdot ab}=2a^2\)

TT:\(\frac{b^3}{c}+bc\ge2b^2\);\(\frac{c^3}{a}+ca\ge2c^2\)

Cộng vế theo vế và sử dụng đánh giá quen thuộc \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) ta có đpcm

"="<=>a=b=c

Sử dụng bđt Côsi:

\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2a^2\)

Tương tự và suy ra:

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Thu gọn lại, ta có đpcm.

a^3/b +a^3/b +b^2 >=3.a^2 
=>2a^3/b +b^2>=3a^2 
Cm tương tự : 
2b^3/c +c^2 >=3.b^2 
2c^3/a +a^2 >=3.c^2 
Cộng vế ta đc  : 
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) >=3.(a^2+b^2+c^2) 
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a >=a^2+b^2+c^2 
Mặt khác : 
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca 
nên
a^3/b+b^3/c+c^3/a >=ab+bc+ca Dấu
 = xảy ra khi a=b=c

Bảo Nam, bạn nên CM rõ đoạn đầu