3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).

Ta có \(x+y\le1\Leftrightarrow1-x\ge y>0\Leftrightarrow0< x< 1\)

Giả sử \(x^2-\dfrac{3}{4x}-\dfrac{x}{y}\le-\dfrac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow4x^2+9\le\dfrac{3}{x}+\dfrac{4x}{y}\\ \Leftrightarrow\dfrac{4x}{1-x}+\dfrac{3}{x}\ge4x^2+9\\ \Leftrightarrow\dfrac{4x^2+3\left(1-x\right)-x\left(4x^2+9\right)\left(1-x\right)}{x\left(1-x\right)}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{4x^4-4x^3+13x^2-12x+3}{x\left(1-x\right)}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+3\right)\left(2x-1\right)^2}{x\left(1-x\right)}\ge0\)

Vì \(x>0;1-x>0\) nên BĐT trên luôn đúng

Vậy ta được đpcm

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

có : (x-y)² \(\ge0,\forall x,y\)

==>x²-2xy+y² \(\ge\)0 \(\forall x,y\)

==> 2.(x²+y²)\(\ge\)2xy +x²+y² \(\forall x,y\)

==> x²+y² \(\ge\)\(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}=\dfrac{2^2}{2}=2\) ( do x+y=2) \(\forall x,y\)

lại có (x^2-y²)²\(\ge\)0\(\forall x,y\)

==> x⁴+y⁴-2x²y² \(\ge\)0 \(\forall x,y\)

==> 2.(x⁴+y⁴) \(\ge\)2x²y² + x⁴+y⁴ \(\forall x,y\)

==> x⁴+y⁴ \(\ge\)\(\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{2^2}{2}=2\)

==> đpcm

dấu ''=,, xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\x-y=0\\x^2-y^2=0\end{matrix}\right.< =>x=y=1}\)

dấu ''=,, xảy ra <=> x=y=1

Giải thích: Đáp án C

H₂SO₄ đặc nóng có thể hòa tan Cu

=> chỉ có Đáp án C thỏa mãn

Áp dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky   ta có:

     \(\left(x+y\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^4\le4\left(x^2+y^2\right)^2\)   (2)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

Áp dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky    ta có:

        \(\left(x^2+y^2\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^4+y^4\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(4\left(x^2+y^2\right)^2\le8\left(x^4+y^4\right)\)    (1)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x^2=y^2\)\(\Leftrightarrow\)\(x=\pm y\)

Từ  (1) và (2) suy ra:    \(\left(x+y\right)^4\le8\left(x^4+y^4\right)\)

                              \(\Leftrightarrow\) \(16\le8\left(x^4+y^4\right)\)

                              \(\Leftrightarrow\)  \(x^4+y^4\ge2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1\)