Question

chứng minh bát đẳng thức cho 2 số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=2. chứng minh rằng: x⁴+y⁴>=2

Answer 1

có : (x-y)² \(\ge0,\forall x,y\)

==>x²-2xy+y² \(\ge\)0 \(\forall x,y\)

==> 2.(x²+y²)\(\ge\)2xy +x²+y² \(\forall x,y\)

==> x²+y² \(\ge\)\(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}=\dfrac{2^2}{2}=2\) ( do x+y=2) \(\forall x,y\)

lại có (x^2-y²)²\(\ge\)0\(\forall x,y\)

==> x⁴+y⁴-2x²y² \(\ge\)0 \(\forall x,y\)

==> 2.(x⁴+y⁴) \(\ge\)2x²y² + x⁴+y⁴ \(\forall x,y\)

==> x⁴+y⁴ \(\ge\)\(\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{2^2}{2}=2\)

==> đpcm

dấu ''=,, xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\x-y=0\\x^2-y^2=0\end{matrix}\right.< =>x=y=1}\)

Answer 2

dấu ''=,, xảy ra <=> x=y=1