tách m^2 thành m^2/4

T thay mặt bạn Tuấn giúp bạn Tuấn làm bài tập của bạn Tuấn nhé :)

Ta có 

\(\frac{m^2}{4}+n^2\ge mn\)

\(\frac{m^2}{4}+p^2\ge mp\)

\(\frac{m^2}{4}+q^2\ge mq\)

\(\frac{m^2}{4}+1\ge m\)

Cộng vế theo vế được

m² + n² + p² + q² + 1 \(\ge\)m(n + p + q + 1)

Vào CHTT,có đấy

Chú ý (không ghi): bạn dụng dấu ngoặc nhọn cho hệ phương trình ở cuối bài

Ta có:

\(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\)  \(\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(\frac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\frac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\frac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\frac{m^2}{4}-m+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(\frac{m}{2}-n\right)^2+\left(\frac{m}{2}-p\right)^2+\left(\frac{m}{2}-q\right)^2+\left(\frac{m}{2}-1\right)^2\ge0\)  \(\left(2\right)\)

Bất đẳng thức \(\left(2\right)\)  luôn đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương nên bất đẳng thức \(\left(1\right)\)  được chứng minh. 

Dấu  \(''=''\)  xảy ra khi       

\(\frac{m}{2}-n=0\)                           \(n=\frac{m}{2}\)                     

\(\frac{m}{2}-p=0\)                           \(p=\frac{m}{2}\)                             \(m=2\)

                                    \(\Leftrightarrow\)                                   \(\Leftrightarrow\)   

\(\frac{m}{2}-q=0\)                            \(q=\frac{m}{2}\)                             \(n=p=q=1\)

\(\frac{m}{2}-1=0\)                           \(m=2\)

cảm ơn nhìu nha

\(m^3+n^3+p^3-3mnp=\left(m^3+3m^2n+3mn^2+n^3\right)+p^3-3mnp-3m^2n-3mn^2=\left(m+n\right)^3+p^3-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left[\left(m+n\right)^2-\left(m+n\right)p-p^2\right]-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-mp-np-p^2\right)-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-mp-np-p^2-3mn\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-mn-np-mp\right)\)

Ta có:

m²+n²+p²+q²+1-mn+mp+mq+m

\(=\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\)

\(=\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\)

mà \(\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\)

=> \(\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\)

<=> m²+n²+p²+q²+1-mn+mp+mq+m \(\ge0\)

<=> m²+n²+p²+q²+1\(\ge\) mn+mp+mq+m

<=> m²+n²+p²+q²+1\(\ge\) m(n+p+q+1)

Vậy m²+n²+p²+q²+1\(\ge\) m(n+p+q+1) với mọi m, n, p, q

Giải:

Ta có:

\(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2\) \(+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\) \(\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{2}-n=0\\\dfrac{m}{2}-p=0\\\dfrac{m}{2}-q=0\\\dfrac{m}{2}-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=\dfrac{m}{2}\\p=\dfrac{m}{2}\\q=\dfrac{m}{2}\\m=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=p=q=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\) (Đpcm)

\(m^3+n^3+p^3-3nmp\)

\(=\left(m+n\right)^3+p^3-3mn\left(m+n\right)-3mnp\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-pm-pn+p^2\right)-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-pm-pn-mn\right)\)

\(m^2+n^2+\frac{1}{4}\ge2mn+m-n\)

\(\Leftrightarrow m^2+n^2+\frac{1}{4}-2mn-m+n\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2+n^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2-2mn-2.\frac{1}{2}m+2.\frac{1}{2}n\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-m+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)

Biểu thức cuối luôn đúng mà ta biến đổi tương đương nên ta có đpcm. 

m² + n² + 1/4 ≥ 2mn + m - n 

<=> 4m² + 4n² + 1 ≥ 8mn + 4m - 4n

<=> 4m² + 4n² + 1 - 8mn + 4m - 4n ≥ 0

<=> ( 2m - 2n + 1 )² ≥ 0 ( đúng )

Vậy ta có đpcm

GỌI \(\left(m^2n+2m,mn+1\right)=d\)

TA CÓ :   MN + 1 CHIA HẾT CHO d

=> m^2n+m chia hết cho d

=> m chia hết cho d

=> mn chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d thuộc Z

=> d = 1

=> đpcm

n(n+1)()2n+1) = n(n+1)(n+2 + n - 1) = n(n+1)(n+2) + (n-1).n.(n+1)

n(n+1)(n+2) ; (n-1).n.(n+1) đều là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên các tích đó chia hết 6

=>  n(n+1)(n+2) + (n-1).n.(n+1) chia hết cho 6 

=> n(n+1)()2n+1) chia hết cho 6

chứng minh n(n+5)(n+7) chia hết cho 6

cậu làm thiếu rồi . cậu còn cần phải chứng minh tại sao 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6