a: Xét ΔABD vuông tại A và ΔEBD vuông tại E có 

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

Do đó: ΔABD=ΔEBD

b: Ta có: ΔABD=ΔEBD

nên BA=BE và DA=DE

Ta có: BA=BE

nên B nằm trên đường trung trực của AE\(\left(1\right)\)

Ta có: DA=DE

nên D nằm trên đường trung trực của AE\(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra BD là đường trung trực của AE

c: Xét ΔADF vuông tại A và ΔEDC vuông tại E có 

DA=DE

AF=EC

Do đó: ΔADF=ΔEDC

Suy ra: DF=DC

hay ΔDFC cân tại D

a) Vì tam giác ABC vuông tại A(gt)

=)Â=90 độ

=)tam giác BAD là tam giác vuông tại A

Vì DE vuông góc vs BC (gt)

=)Ê =90 độ

=)tam giác BED là tam giác vuông tại E

xét tam giác BAD vuông tại A và tam giác BED vuông tại E có

Góc ABD =Góc EBD(vì BD là tia phân giác)

BD là cạnh chung

=) tam giác BAD=tam giác BED(ch-cgv)

Xét 2 tam giác vuông ABD và EBD có

Góc ABD=góc EBD(gt)

Cạnh huyền BD chung

=)) tam giác ABD=tam giácEBD (ch-gn)

a. Xét tam giác ABD vuông tại A và tam giác BED vuông tại E có:
BD : Cạnh chung 
Góc ABD = góc DBE (BD phân giác)
=> Tam giác ABD = tam giác BED (cạnh huyền - góc nhọn) 
b. Ta có BA = BE (Tam giác = tam giác câu a) 
=> tam giác BAE cân tại B. 
Lại có BD là phân giác tam giác BAE => BD vừa là phân giác vừa là đường trung trực của đoạn AE.
c. Xét tam giác EDC vuông tại E:
DE < DC (Cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền)
Mà DE = DA (Tam giác = tam giác câu a)
=> DA < DC. 
d. Xét tam giác ADF và tam giác EDC: 
DA = DE (tam giác = tam giác câu a)
DAF = DEC (=90 độ)
AF = EC (gt) 
=> Tam giác ADF = tam giác EDC (C.g.c)
=> ADF = EDC (góc tương ứng) 
Mặt khác : EDC + EDA = 180 độ .
Từ đó suy ra : EDA + ADF = 180 độ. 
Vậy E,D,F thẳng hàng.

Cách 1: Giải theo phương pháp bậc tiểu học (của bạn Ác Quỷ)

Ta có 

Mà dt(AMN) = 1/4 dt(ABN) = 1/4 . 1/2 dt(ABC) = 1/8 dt(ABC)

      dt(DMN) = dt(ABC) - dt(AMN) - dt(BDM) - dt(CDN) = dt(ABC) - 1/8 dt(ABC) - 3/8 dt(ABC) - 1/4 dt(ABC) = 1/4 dt(ABC)

Vậy , suy ra AE/AD = 1/3

Cách 2: Giải theo phương pháp bậc THCS (của bạn Lê Quang Vinh)

DN là đường trung bình của tam giác ABC => DN // AB và DN = 1/2 AB

DN // AB => Hai tam giác EAM và EDN đồng dạng => EA/ED = AM/DN = 1/2 (vì AM = 1/4 AB, DN = 1/2 AB)

=> AE/AD = 1/3

2 hoặc 3

a. xét tgiac ABD và tgiac EBD có:

góc BAD= góc BED=90

BD chung

góc ABD= góc EBD(gt)

=> tgiac ABD= tgiac EBD(ch-gn)

=> AB= EB(2 cạnh tương ứng)(1)

=> AD=ED(2 cạnh tương ứng)(2)

từ (1) và(2)=> BD là đường trung trực của AE(tính chất đường trung trực)

b. câu b là chứng minh AD<CD (nhé)

xét tgiac vuông CDE vuông tại E => CD> DE mà DE=AD

=> AD<CD

c.Vì AB=BE(cmt) và AF=EC(gt)

=> BF=BC(3)

Xét tgiac DEC và tgiac DAF có 

AD=DE(cmt)

góc DAF= góc DEC=90

AF=EC(gt)

nên tgiac DEC=Tgiac DAF(c.g.c)

=> DF=DC(4)

Từ(3) và (4) => DB là đường trung trực của CF

Xét tgiac BCF có

CA vuông góc với BF

BD vuông góc với CF(vì BD là đường trung trực của CF)

mà  CA cắt BD tại D

nên D là trực tâm tgiac BCF

vậy FD vuông góc với BC mà DE vuông góc với BC

Nên D;F;E thẳng hàng

a.Xét \(\Delta ABD\left(\perp A\right)\) và \(\Delta BED\left(\perp E\right)\) có BD là cạnh chung . có \(\widehat{ABD}=\widehat{DBE}\) (BD là phân giác)

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta BED\)(cạnh huyền-góc nhọn) \(\Rightarrow BA=BE\) . \(\Delta BAE\) cân tại B có BD là phân giác \(\Delta BAE\) \(\Rightarrow\) BD vừa là đường phân giác vừa là đường trung trực của AE.

c. Xét \(\Delta ADF\) và \(\Delta EDC\) 

có DA=DE 

\(\widehat{FAD}=\widehat{DEC}=90^o\) 

AF=EC(gt) \(\Rightarrow\Delta ADF=\Delta EDC\) (cạnh-góc-canh)

Mặt khác \(\widehat{EDC}+\widehat{EDA}=180^o\) . suy ra : \(\widehat{EDA}+\widehat{ADF}=180^o\) Vậy D,E.F thẳng hàng