Xét ΔHAB có 

M là trung điểm của AH(gt)

N là trung điểm của BH(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔHBA(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MN//AB và \(MN=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

hay MN\(\perp\)AC(đpcm)

a: Xét ΔHMN và ΔHAB có

\(\dfrac{HM}{HA}=\dfrac{HN}{HB}\)

\(\widehat{MHN}\) chung

Do đó: ΔHMN đồng dạng với ΔHAB

b:

Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(=90^0-\widehat{HBA}\right)\)

Do đó: ΔHAB đồng dạng với ΔHCA

=>\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\)

=>\(HA^2=HB\cdot HC\)

 \(HM\cdot HA=\dfrac{1}{2}\cdot HA\cdot HA=\dfrac{1}{2}HA^2\)

\(HN\cdot HC=\dfrac{1}{2}\cdot HB\cdot HC=\dfrac{1}{2}\cdot HA^2\)

Do đó: \(HM\cdot HA=HN\cdot HC\)

c: \(HM\cdot HA=HN\cdot HC\)

=>\(\dfrac{HN}{HM}=\dfrac{HA}{HC}\)

Xét ΔHAN vuông tại H và ΔHCM vuông tại H có

\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HN}{HM}\)

Do đó: ΔHAN đồng dạng với ΔHCM

bn vẽ hình đi thì mọi người dễ giải hơn đó

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=15^2+20^2=625\)

hay BC=25(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Leftrightarrow AH\cdot25=15\cdot20\)

\(\Leftrightarrow AH\cdot25=300\)

hay AH=12(cm)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔACH vuông tại H, ta được:

\(AC^2=AH^2+CH^2\)

\(\Leftrightarrow CH^2=AC^2-AH^2=20^2-12^2=256\)

hay HC=16(cm)

Vậy: BC=20cm; AH=12cm; HC=16cm

a: Xét ΔBAH vuông tại H và ΔBCA vuông tại A có

góc B chung

=>ΔBAH đồng dạng với ΔBCA

\(CB=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

HB=6^2/10=3,6cm

b: ΔHAC vuông tại H có HN vuông góc AC

nên HN^2=NA*NC