`a)` Thay `m=\sqrt{3}+1` vào hệ ptr có:

`{(\sqrt{3}x-2y=1),(3x+(\sqrt{3}+1)y=1):}`

`<=>{(3x-2\sqrt{3}y=\sqrt{3}),(3x+(\sqrt{3}+1)y=1):}`

`<=>{((3\sqrt{3}+1)y=1-\sqrt{3}),(\sqrt{3}x-2y=1):}`

`<=>{(y=[-5+2\sqrt{3}]/13),(\sqrt{3}x-2[-5+2\sqrt{3}]/13=1):}`

`<=>{(x=[4+\sqrt{3}]/13),(y=[-5+2\sqrt{3}]/13):}`

`b){((m-1)x-2y=1),(3x+my=1):}`

`<=>{(x=[1-my]/3),((m-1)[1-my]/3-2y=1):}`

`<=>{(x=[1-my]/3),(m-m^2y-1+my-6y=3):}`

`<=>{(x=[1-my]/3),((-m^2+m-6)y=4-m):}`

`<=>{(x=[1-my]/3),(y=[4-m]/[-m^2+m-6]):}`

   Mà `-m^2+m-6` luôn `ne 0`

   `=>AA m` thì đều tìm được `1` giá trị `y` từ đó tìm được `x`

 `=>AA m` thì hệ ptr có `1` nghiệm duy nhất

`c){((m-1)x-2y=1),(3x+my=1):}`

`<=>{(x=[1-my]/3),(y=[4-m]/[-m^2+m-6]):}`

`<=>{(x=(1-m[4-m]/[-m^2+m-6]):3),(y=[4-m]/[-m^2+m-6]):}`

`<=>{(x=[-m^2+m-6-4m+m^2]/[-3m^2+3m-18]),(y=[4-m]/[-m^2+m-6]):}`

`<=>{(x=[-3m-6]/[3(-m^2+m-6)]),(y=[4-m]/[-m^2+m-6]):}`

Ta có: `x-y=[-3m-6]/[3(-m^2+m-6)]-[4-m]/[-m^2+m-6]`

                `=[-3m-6-12+3m]/[-3(m^2-m+6)]`

                `=[-18]/[-3(m^2-m+6)]=6/[(m-1/2)^2+23/4]`

Vì `(m-1/2)^2+23/4 >= 23/4`

`<=>6/[(m-1/2)^2+23/4] <= 24/23`

Hay `x-y <= 24/23`

Dấu "`=`" xảy ra `<=>m-1/2=0<=>m=1/2`

a. Bạn tự giải

b. Thế cặp nghiệm x=-1, y=3 vào hệ ban đầu ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}-1+3m=9\\-m-9=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m=10\\-m=13\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn

c. \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+m^2y=9m\\mx-3y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2+3\right)y=9m-4\\mx-3y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{9m-4}{m^2+3}\\x=\dfrac{4m+27}{m^2+3}\end{matrix}\right.\)

Vậy với mọi m thì hệ luôn có nghiệm duy nhất như trên

Thay \(a=-\sqrt{2}\) vào pt :

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(-\sqrt{2}+1\right)x-y=3\left(1\right)\\-\sqrt{2}x+y=-\sqrt{2}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy \(\left(1\right)+\left(2\right):\) 

\(\left(-\sqrt{2}+1-\sqrt{2}\right)x=3-\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3-\sqrt{2}}{1-2\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1-5\sqrt{2}}{7}\)\(\left(3\right)\)

Thay \(\left(3\right)\) vào \(\left(2\right)\) : \(-\sqrt{2}.\dfrac{1-5\sqrt{2}}{7}+y=-\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow y=\)\(-\sqrt{2}+\dfrac{6\sqrt{2}}{7}\)

\(\Rightarrow y=-\dfrac{\sqrt{2}}{7}\)

Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1-5\sqrt{2}}{7};-\dfrac{\sqrt{2}}{7}\right)\)

Lời giải:

a.

Từ $x+y=2\Rightarrow y=2-x$. Thay vào PT(2):
$(m+1)x+m(2-x)=7$

$\Leftrightarrow x+2m=7$

$\Leftrightarrow x=7-2m$

$y=2-x=2-(7-2m)=2m-5$

Vậy hpt có nghiệm $(x,y)=(7-2m, 2m-5)(*)$

Nếu $x,y$ có 1 số $\geq 0$, một số $\leq 0$ thì $xy\leq 0< 1$

Nếu $x,y$ cùng $\geq 0$ thì áp dụng BĐT Cô-si:

$2=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq 1$

Vậy tóm lại $xy\leq 1(**)$
Từ $(*); (**)$ suy ra với mọi $m$ thì hpt luôn có nghiệm $x,y$ thỏa mãn $xy\leq 1$

b.

$xy>0$

$\Leftrightarrow (7-2m)(2m-5)>0$

$\Leftrightarrow 7> 2m> 5$

$\Leftrightarrow \frac{7}{2}> m> \frac{5}{2}$

Do $m$ nguyên nên $m=3$

Thử lại thấy đúng.

Bài 1:

\(\left\{{}\begin{matrix}xy+2=2x+y\left(1\right)\\2xy+y^2+3y=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Rightarrow xy-y+2-2x=0\)

\(\Rightarrow y\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Với \(x=1\). Thay vào (2) ta được:

\(2y+y^2+3y=6\)

\(\Leftrightarrow y^2+5y-6=0\)

\(\Leftrightarrow y^2+y-6y-6=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(y+1\right)-6\left(y+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(y-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\\y=6\end{matrix}\right.\)

Với \(y=2\). Thay vào (2) ta được:

\(2x.2+2^2+3.2=6\)

\(\Leftrightarrow4x+4+6=6\)

\(\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x,y) \(\in\left\{\left(1;-1\right),\left(1;6\right),\left(-1;2\right)\right\}\)

Bài 2:

\(f\left(x\right)=x^4+6x^3+11x^2+6x\)

\(=x\left(x^3+6x^2+11x+6\right)\)

\(=x\left(x^3+x^2+5x^2+5x+6x+6\right)\)

\(=x\left[x^2\left(x+1\right)+5x\left(x+1\right)+6\left(x+1\right)\right]\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x^2+3x+2x+6\right)\)

\(=x\left(x+1\right)\left[x\left(x+3\right)+2\left(x+3\right)\right]\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)

b) Ta có: \(f\left(x\right)+1=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1\)

\(=x\left(x+3\right).\left(x+1\right)\left(x+2\right)+1\)

\(=\left(x^2+3x\right).\left(x^2+3x+2\right)+1\)

\(=\left(x^2+3x\right)^2+2\left(x^2+3x\right)+1\)

\(=\left(x^2+3x+1\right)^2\)

Vì x là số nguyên nên \(f\left(x\right)+1\) là số chính phương.

Từ pt (1) ta có: y=ax-2 thế vào pt (2) ta được:

          \(x+a\left(ax-2\right)=3\)

\(\Leftrightarrow x+a^2x-2a=3\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+1\right)x=2a+3\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2a+3}{a^2+1}\) (Vì \(a^2+1\ne0\))

\(\Rightarrow y=a\cdot\dfrac{2a+3}{a^2+1}-2=\dfrac{3a-2}{a^2+1}\)

Vậy với mọi a hệ có nghiệm duy nhất là \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{2a+3}{a^2+1};\dfrac{3a-2}{a^2+1}\right)\)