Dựng tiếp tuyến với đường tròn tại B, gọi K là giao của tiếp tuyến với đường tròn tại M với tiếp tuyến với đường tròn tại B

Ta có

\(AF\perp AB;OD\perp AB;BK\perp AB\) => AF//OD//BK

\(\Rightarrow\dfrac{DE}{OA}=\dfrac{DK}{OB}\) (Talet)

Mà OA=OB

=> DE=DK (1)

Xét tg ABF có

OD//AF => \(\dfrac{DF}{OA}=\dfrac{DB}{OB}\) (Talet trong tg)

Mà OA=OB => DF=DB (2)

\(\widehat{EDF}=\widehat{KDB}\) (góc đối đỉnh)

Từ (1) (2) (3) => tg EDF = tg KDB (c.g.c)

=> EF=KB

Mà KB=KM (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm bằng nhau)

=> EF=KM

Ta có

EA=EM  (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm bằng nhau)

\(\Rightarrow EA.EF=EM.KM\)

Xét tg vuông EAO và tg vuông EMO có

EO chung

EA=EM (cmt)

=> tg EAO = tg EMO (Hai tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{EOA}=\widehat{EOM}\) (4)

C/m tương tự ta cũng có tg KMO = tg KBO \(\Rightarrow\widehat{KOB}=\widehat{KOM}\) (5)

Mà \(\widehat{EOA}+\widehat{EOM}+\widehat{KOB}+\widehat{KOM}=180^o\) (6)

Từ (4) (5) (6) \(\Rightarrow\widehat{EOM}+\widehat{KOM}=\widehat{KOE}=90^o\)

=> tg KOE là tg vuông tại O

Ta có \(OM\perp KE\) (KE là tiếp tuyến với đường tròn tại M)

Xét tg vuông KOE có

\(OM^2=KM.EM\) (Trong tg vuông bình phương đường cao từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow KM.EM=EF.EA=OM^2\) không đổi

Có cách dán ảnh rồi nè

a, Từ CA, CM là tiếp tuyến của (O) chứng minh được A,C,M,O ∈ đường tròn bán kính  O C 2

b, Chứng minh OC,BM cùng vuông góc với AM . từ đó suy ra OC//BM

c,  S A C D B = A C + B D A B 2 = A D . A B 2

=>  S A C D B  nhỏ nhất khi CD có độ dài nhỏ nhất

Hay M nằm chính giữa cung AB

d, Từ tính chất hai giao tuyến => AC = CM và BM=MD, kết hợp với AC//BD

ta chứng minh được  C N N B = C M M D => MN//BD => MN ⊥ AB