Xét tam giác AEM có:

\(AM< AE+EM\)

\(AM< \frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC\)

\(AM< \frac{1}{2}\left(AB+AC\right)\)

Tương tự ta cũng có:

\(CE< \frac{1}{2}\left(AC+BC\right)\)

\(BN< \frac{1}{2}\left(AB+BC\right)\)

\(\Rightarrow AM+BN+CE< AB+AC+BC\left(đpcm\right)\)

P/s xong rồi nhé mình làm hơi tắt mong bạn thông cảm :)

Giúp mình với ạ.Cảm ơn

a, + △ABC△ABC vuông ở A nên theo định lí Pytago ta có: AB2+AC2=BC2AB2+AC2=BC2
Hay: 52+AC2=132⟹AC=1252+AC2=132⟹AC=12

+ E là trung điểm của AB nên AE=EB=AB2=52=2,5AE=EB=AB2=52=2,5

+ N là trung điểm của AC nên AN=CN=AC2=122=6AN=CN=AC2=122=6

+ △AEC△AEC vuông ở A nên theo định lí Pytago ta có: EC2=AE2+AC2=2,52+122=150,25⟹EC≈12.3EC2=AE2+AC2=2,52+122=150,25⟹EC≈12.3

+ △ANB△ANB vuông ở A nên theo định lí Pytago ta có: NB2=AB2+AN2=62+52=61⟹BN≈7,8NB2=AB2+AN2=62+52=61⟹BN≈7,8

+ Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên AM=BC2=6,5AM=BC2=6,5
 

Xét tam giác ABC vuông tại A có

AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

=> \(AM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.13=6,5\left(cm\right)\)

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)(định lý Pytago)

\(\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=13^2-5^2=144\Rightarrow AC=12\left(cm\right)\)

Ta có: \(AN=NC=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}.12=6\left(cm\right)\)(BN là đường trung tuyến nên N là trung điểm AC)

\(AE=BE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{5}{2}=2,5\left(cm\right)\)(CM là đường trung tuyến nên M là trung điểm AB)

Xét tam giác ACE vuông tại A có:

\(CE^2=AE^2+AC^2=2,5^2+12^2=150,25\Rightarrow CE=\dfrac{\sqrt{601}}{2}\left(cm\right)\)

Xét tam giác ABN vuông tại A có

\(BN^2=AB^2+AN^2=5^2+6^2=61\Rightarrow BN=\sqrt{61}\left(cm\right)\)

\(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pitago\right)\)

\(\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=625-400=225\)

\(\Rightarrow AC=15\left(cm\right)\)

\(AM^2=\dfrac{2.\left(AB^2+AC^2\right)-BC^2}{4}\) (Độ dài trung tuyến trong tam giác)

\(\Rightarrow AM^2=\dfrac{2.\left(400+225\right)-625}{4}=\dfrac{625}{4}\)

\(\Rightarrow AM=\dfrac{25}{2}\left(cm\right)=12,5\left(cm\right)\)

Tương tự ...

\(BN^2=\dfrac{2.\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2}{4}\)

\(\Rightarrow BN^2=\dfrac{2.\left(400+625\right)-225}{4}=\dfrac{1825}{4}\)

\(\Rightarrow BN=\sqrt[]{\dfrac{1825}{4}}=\sqrt[]{\dfrac{73.25}{4}}=\dfrac{5\sqrt[]{73}}{4}\left(cm\right)\)

\(CE^2=\dfrac{2.\left(AC^2+BC^2\right)-AB^2}{4}\)

\(\Rightarrow CE^2=\dfrac{2.\left(225+625\right)-400}{4}=\dfrac{1300}{4}\)

\(\Rightarrow CE=\sqrt[]{\dfrac{1300}{4}}=\sqrt[]{\dfrac{13.100}{4}}=\dfrac{10\sqrt[]{13}}{4}=\dfrac{5\sqrt[]{13}}{2}\left(cm\right)\)

Đính chính 

\(BN=\dfrac{5\sqrt[]{73}}{2}\left(cm\right)\)

\(CE=\dfrac{10\sqrt[]{13}}{2}=5\sqrt[]{13}\left(cm\right)\)

ΔABC vuông tại A có AM là trung tuyến

nên AM=BC/2=12,5cm

AC=căn 25^2-20^2=15cm

AN=15/2=7,5cm

BN=căn AN^2+AB^2=5/2*căn 73(cm)

AE=20/2=10cm

CE=căn AC^2+AE^2=căn 15^2+10^2=5*căn 13(cm)

a, + △ABC△ABC vuông ở A nên theo định lí Pytago ta có: AB2+AC2=BC2AB2+AC2=BC2
Hay: 52+AC2=132⟹AC=1252+AC2=132⟹AC=12

+ E là trung điểm của AB nên AE=EB=AB2=52=2,5AE=EB=AB2=52=2,5

+ N là trung điểm của AC nên AN=CN=AC2=122=6AN=CN=AC2=122=6

+ △AEC△AEC vuông ở A nên theo định lí Pytago ta có: EC2=AE2+AC2=2,52+122=150,25⟹EC≈12.3EC2=AE2+AC2=2,52+122=150,25⟹EC≈12.3

+ △ANB△ANB vuông ở A nên theo định lí Pytago ta có: NB2=AB2+AN2=62+52=61⟹BN≈7,8NB2=AB2+AN2=62+52=61⟹BN≈7,8

+ Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên AM=BC2=6,5AM=BC2=6,5

b,+ SABC=AB.AC:2=12.5:2=30SABC=AB.AC:2=12.5:2=30 

+ M là trung điểm BC nên BM=MC. Mà △OBM△OBM và △OCM△OCM có chung đường cao kẻ từ O nên SOBM=SOCMSOBM=SOCM

+ N là trung điểm AC nên AN=NC. Mà △AON△AON và △OCN△OCN có chung đường cao kẻ từ O nên SAON=SCONSAON=SCON

+ E là trung điểm AB nên AE=EB. Mà △OAE△OAE và △OEB△OEB có chung đường cao kẻ từ O nên SOAE=SOEBSOAE=SOEB

+ Ta có: SOBM+SOCM+SAON+SCON+SOAE+SOEB=SABCSOBM+SOCM+SAON+SCON+SOAE+SOEB=SABC. Hay:
6.SOBM=SABC⟹SOBM=SOCM=SABC6=30:6=5 (cm2)6.SOBM=SABC⟹SOBM=SOCM=SABC6=30:6=5 (cm2)

+Vậy SBOC=SOBM+SOCM=5.2=10 (cm2)

b) Ta có: Sabc là

( AB*AC ) / 2

mà AB = 5cm ( GT ) , AC = 12 cm ( câu a)

suy ra ( 5*12 ) / 2 = 30 ( cm² )

Tương tự ta có Seac là 15 cm²

Sbeo = Sabc - Seac =30 - 15 = 15 cm²

Lại có Sboc = 2/3 Sbe

Suy ra Sboc = 2/3 * 15 = 10 (cm² )

Vậy diện tích tam giác BOC là 10 cm²

Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 5cm,BC =13. Ba đường trung tuyến AM,BN,CE cắt nhau tai O.

a) Tính AM,BN,CE.

b) Diện tích tam giác BOC

aXét \(\Delta ABC\)vuông tại A , AM là trung tuyến

\(AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.3=6,5cm\)

Vì \(\Delta ABC\)vuông tại A  theo định lí Py - ta - go , ta có :

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2\)

\(=13^2-5^2=169-25\)

\(=144\)Hay \(12^2\)

Vì vậy \(AC=12cm\)

Vì BN là đường trung tuyến của tam giác vuông \(\text{ABC(gt)}\)

\(\Rightarrow N\) là trung điểm của \(AC.\)

\(\Rightarrow AN=CN=\frac{1}{2}AC\)(tính chất trung điểm )

\(\Rightarrow AN=CN=\frac{1}{2}.12\)

\(\Rightarrow AN=CN=6cm\)

Xét \(\Delta ABN\)vuông tại A , áp dụng định lí py - ta - go , ta có

\(\Rightarrow BN^2=AB^2+AN^2=5^2+6^2\)

\(=61=7,81^2\)

Vậy \(BN=7,81\)

\(EA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.5=2,5\)

Vậy EA = 2,5

Xét \(\Delta AEC\)vuông tại A ,áp dụng định lí py - ta - go , ta có

có\(EC^2=AE^2+AC^2=2,5^2+12^2\)

\(=150,25=12,26^2\)

\(\Rightarrow EC=12,26\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}AM=6,5CM\\BN=7,81\\CE=12,26\end{cases}}\)

Chúc bạn học tốt !