Vì a và 1 là 2 số dương \(\Rightarrow a+1\ge2\sqrt{a}\) (bđt AM - GM)

Vì b và 1 là 2 số dương \(\Rightarrow b+1\ge2\sqrt{b}\)(bđt AM - GM)

Vì c và 1 là 2 số dương \(\Rightarrow c+1\ge2\sqrt{c}\)(bđt AM - GM)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\) (đpcm)

BĐT \(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(a+c\right)\right]\left[\left(b+c\right)+\left(a+b\right)\right]\left[\left(c+a\right)+\left(b+c\right)\right]\ge8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Đây là BĐT quy thuộc! \(\left(a+b\right)+\left(a+c\right)\ge2\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\) rồi tương tự các kiểu.

Nhân theo vế thu được đpcm

\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=abc+ac+bc+ab+a+b+c+1\)

Áp dụng BĐT thức Cô si cho 3 số , ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)

\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca+a+b+c+2\ge3+3+2=8\left(đpcm\right)\)

Bạn Huyền dài dòng quá! Dự đoán a = b = c = 1 cô si phát là ra=)

\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)\(=8\sqrt{abc}=8^{\left(đpcm\right)}\)

AM-GM 1 dòng thôi bạn :))

\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8\)

Dấu "=" khi a=b=c=1

Áp dụng BĐT AM - GM cho các số không âm , ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}a+1\ge2\sqrt{a}\\b+1\ge2\sqrt{b}\\c+1\ge2\sqrt{c}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2.2.2.\sqrt{abc}\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{abc}=8\left(đpcm\right)\)

\(\left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right)\ge8\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\)

\(\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)-abc\ge8abc\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge9abc\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)Điều này luôn đúng vì:

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\le\frac{1}{3}\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge3\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge3.3=9\)-----> ĐPCM

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng cặp số không âm (với  \(a,b,c>0\)), ta có:

\(a^2+1\ge2a\)  \(\left(1\right)\)

\(b^2+1\ge2b\)   \(\left(2\right)\)

\(c^2+1\ge2c\)   \(\left(3\right)\)

Nhân từng vế  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\left(3\right)\), ta được:

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc=8\)  (do  \(abc=1\))

Xảy ra đẳng thức trên khi và chỉ khi  \(a=b=c=1\)