Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R). D là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BC, CA.
a) Chứng minh H, I, K thẳng hàng ( Câu a không cần làm nhé)
b) Chứng minh \(\frac{BC}{DH}=\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}\)
c) Tìm vị trí của D trên cung BC để IK có giá trị lớn nhất
d) Tìm vị trí của D trên cung BC để \(\frac{BC}{DH}+\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}\) có giá trị nhỏ nhất
e)/ Gọi P,Q lần lượt là điểm đối xứng của D qua AB, AC. G là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh P, G, Q thẳng hàng
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) . Lấy điểm D trên cung BC không chứa A . Gọi H,I,K theo thứ tự là hình chiếu của D , trên BC ,CA, AB
Cmr : a) BC/DH =AC/DI + AB /DK
b) H,I,K thẳng hàng
a/ Gọi \(F\in BC/A\widehat{D}B=F\widehat{D}C\)
Xét \(\Delta ADB\)và\(\Delta FDC\)ta có
\(\hept{\begin{cases}A\widehat{D}B=F\widehat{D}C\\B\widehat{A}D=F\widehat{C}D\end{cases}}\)(2 góc n.t chắn cung BD)
\(=>\Delta ADB\)đồng dạng \(\Delta CDF\)
=>\(\frac{AB}{CF}=\frac{DA}{DC}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta DAK\)và \(\Delta DCH\)ta có
\(K\widehat{A}D=H\widehat{C}D\)(2 góc n.t chắn cung BD)
\(A\widehat{K}D=C\widehat{H}D\left(=90^0\right)\)
=>\(\Delta DAK\)đồng dạng \(\Delta DCH\)(g-g)
=>\(\frac{DA}{DC}=\frac{DK}{DH}\left(2\right)\)
(1) và (2) => \(\frac{AB}{CF}=\frac{DK}{DH}\)=>\(\frac{AB}{DK}=\frac{CF}{DH}\left(3\right)\)
C/m tương tự => \(\frac{AC}{DI}=\frac{BF}{DH}\left(4\right)\)
(3),(4) => \(\frac{AC}{DI}+\frac{AB}{DK}=\frac{CF}{DH}+\frac{BF}{DH}=\frac{BC}{DH}\left(đpcm\right)\)
b/ Xét tứ giác BKDH ta có : \(B\widehat{K}D+B\widehat{H}D=180^0\)
=> Tứ giác BKDH n.t => \(K\widehat{B}D=K\widehat{H}D\)
Mà \(K\widehat{B}D=I\widehat{C}D\)( tứ giác ABDC n.t (O))
Nên \(K\widehat{H}D=I\widehat{C}D\left(5\right)\)
Xét tứ giác IHDC ta có : \(D\widehat{H}C=D\widehat{IC}\left(=90^0\right)\)
=> Tứ giác IHDC n.t => \(I\widehat{C}D+I\widehat{H}D=180^0\left(6\right)\)
(5),(6) => \(K\widehat{H}D+I\widehat{H}D=180^0\)=> H,I,K thẳng hàng
Đường thẳng simson thôi
Cho tam giac ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. D là môt điểm thuộc cung nhỏ BC. Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BC, CA.
a) CM: I, H, K thẳng hàng
b) CM : \(\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}=\frac{BC}{DH}\)
c) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, HK. CM \(PQ\perp DQ\)
a) Ta có tứ giác DIKC nội tiếp nên \(\widehat{DKI}=\widehat{ICD}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung ID)
Lại có tứ giác ABDC nội tiếp nên \(\widehat{ICD}=\widehat{BCD}=\widehat{BAD}=\widehat{HAD}\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
Tứ giác AHDK cũng nội tiếp nên \(\widehat{HAD}=\widehat{DKH}\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
Vậy nên \(\widehat{DKI}=\widehat{DKH}\) hay H, K, I thẳng hàng.
Cảm ơn cô nhưng em cần câu b và câu c
Giả sử \(AC\ge AB\)
tứ giác \(ABDC\)nội tiếp đường tròn
=>\(\widehat{IBD}=\widehat{KCD}\left(=180-\widehat{ACD}\right)\)
Do đó \(\Delta IBD\)đồng dạng \(\Delta KCD\)(góc nhọn)
=>\(\frac{BI}{ID}=\frac{CK}{DK}\)
TA CÓ \(\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}=\frac{AI}{DI}+\frac{BI}{DI}+\frac{AK}{DK}-\frac{CK}{DK}=\frac{AI}{DI}+\frac{AK}{DK}\)
TA CÓ \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\left(=\frac{1}{2}\widebat{BD}\right)\)\(\widehat{\Rightarrow\cot BAD}=\widehat{\cot BCD}\Leftrightarrow\frac{AI}{DI}=\frac{CH}{DH}\)(1)
TƯƠNG TỰ \(\widehat{CBD}=\widehat{CAD}\left(=\frac{1}{2}\widebat{MC}\right)\Rightarrow\frac{AK}{DK}=\frac{BH}{DH}\)(2)
TỪ (1) VÀ (2)=>\(\frac{AI}{DI}+\frac{AK}{DK}=\frac{CH}{DH}+\frac{BH}{DH}=\frac{BC}{DH}\)
=>\(\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}=\frac{BC}{DH}\)
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Lấy điểm D trên cung BC không chứa A. Gọi H,I,K theo thứ tự là hình chiếu của D trên BC,CA,AB. Chứng minh rằng: a, \(\frac{BC}{DH}=\frac{AC}{DI}+\frac{AB}{DK}\)
b, H,I,K thẳng hàng
Câu 1: a,Cho tam giác ABC có góc A nhọn nội tiếp đường tròn (O) bán kính R lấy D trên xung nhỏ BC gọi H,K,I lần lượt là hình chiếu của D trên BC ,AB và CA. Chứng minh:
\(\frac{AC}{DI}+\frac{AB}{DK}=\frac{BC}{DH}\)
b, Xác định điểm D trên cung BC sao cho
\(\frac{AC}{DI}+\frac{AD}{DK}+\frac{BC}{DH}lớnnhất\)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R). Điểm D thuộc cung BC không chứa A. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của D trên BC, AB, AC. Chứng minh rằng:
a) AB.CD+BD.AC=AD.BC
b) AB/DK+AC/DI=BC/DH
c) Xác định điểm D để tổng AB/DK+AC/DI+BH/DH đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Chứng minh K, H, I thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cùng nhỏ BC lấy điểm M( M khác B, khác C ). Gọi H,I,K lần lượt là điểm đối xứng của M qua AB, BC, AC. Khi H,I,K thẳng hàng tìm vị trí của điểm M để HK lớn nhất
tg tr ẻ đ ú này bài dễ c ũ n g k h ô n g làm đc
Cho \(\Delta ABC\)nội tiếp đường tròn (O). D là điểm bất kì thuộc cung BC không chứa A và không trùng với B,C. Gọi H, I, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến đường thẳng BC, AC, AB. Đặt \(BC=a;AC=b;AB=c;DH=x;DI=y;DK=z\)
Tìm vị trí điểm D để tổng \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\)nhỏ nhất.
Không vẽ hình đc , sợ duyệt
a) Lấy \(E\)trên \(BC\)sao cho \(CDE=ADB\)
Tam giác \(CDE\)= tam giác \(ADB\left(g.g\right)\)
Tỉ số các đường cao tương đương với ứng bằng tỉ số đóng dạng :
\(\frac{DH}{DK}=\frac{CE}{AB}=\frac{x}{z}=\frac{CE}{c}=\frac{c}{z}=\frac{CE}{x}\left(1\right)\)
Tương tự \(\frac{b}{y}=\frac{BE}{x}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta suy ra : \(\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{BE+CE}{x}=\frac{a}{x}\)
b) Xét S \(=\frac{a}{x}+\left(\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)=\frac{a}{x}+\frac{a}{x}=\frac{2a}{x}\). Do đó :
S nhỏ nhất \(\frac{a}{x}\)nhỏ nhất = x lớn nhất = \(D=M\)( M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A )
HT
Mệt
Đây ạ
HT
@@@@@@@@@@@@
