k cho minh nha bạn

c) =(1+2)+(2^2+2^3)+(2^4+2^5)+...+(2^119+2^200)

=1.(1+2)+2^2.(1+2)+2^4.(1+2)+...+2^119.(1+2)

=1.3+2^2.3+2^4+...+2^199.3   hiển nhiên sẽ chia hết cho 3

Câu d làm tương tự nhưng bạn phải giép 4 lũy thừa để được 15

Đặt \(1+2^2+2^4+....+2^{2014}=A\)

Ta có:

\(4A=2^2+2^4+2^6+...+2^{2016}\)

\(\Rightarrow4A-A=\left(2^2+2^4+...+2^{2016}\right)-\left(1+2^2+...+2^{2014}\right)\)

\(\Rightarrow3A=2^{2016}-1\Rightarrow A=\dfrac{2^{2016}-1}{3}\)

Ta lại có:

\(2^4=16;2^8=256;2^{12}=4096;.......\)

Các số trên đều là số chia hết cho 15 dư 1

\(\Rightarrow2^{2016}\) chia cho 15 dư 1

\(\Rightarrow2^{2016}-1\) chia hết cho 15

mà 15 chia hết cho 3

nên \(\dfrac{2^{2016}-1}{3}\) chia hết cho 15

Vậy A chia hết cho 15(đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!

Không tìm thấy Chứng minh rằng: (1+2²+2⁴+2⁶+...+2²⁰¹⁴) ) chia hết cho 15 trong dữ liệu nào hết của tôi

ko biết

Do 2 + 1 chia hết cho 3 nên theo bổ đề LTE ta có \(v_3\left(2^{3^n}+1\right)=v_3\left(2+1\right)+v_3\left(3^n\right)=n+1\).

Do đó \(2^{3^n}+1⋮3^{n+1}\) nhưng không chia hết cho \(3^{n+2}\).

Mình chỉ làm được ý 3 thôi: 

A = 2¹ + 2² + 2³ + ................ + 2¹²⁰

Chứng minh chia hết cho 7

A = 2¹ + 2² + 2³ + ................ + 2¹²⁰

A = (2¹ + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ................ + (2¹¹⁸ + 2¹¹⁹ + 2¹²⁰)

A = 2.(1 + 2 + 4) + 2⁴.(1 + 2 + 4) + ................. + 2¹¹⁸.(1 + 2 + 4)

A = 2.7 + 2⁴ . 7 + ................ + 2¹¹⁸.7

A = 7.(2 + 2⁴ + ........... + 2¹¹⁸)

Chứng minh chia hết cho 31

A = 2¹ + 2² + 2³ + ................ + 2¹²⁰ 

A = (2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵) + (2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰) + ................ + (2¹¹⁶ + 2¹¹⁷ + 2¹¹⁸ + 2¹¹⁹ + 2¹²⁰)

A = 2.(1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 2⁶.(1 + 2 +4 + 8 + 16) + ............. + 2¹¹⁶.(1 + 2 + 4 + 8 + 16)

A = 2.31 + 2⁶.31 + ....... + 2¹¹⁶ . 31

A = 31.(2 + 2⁶ + ........... + 2¹¹⁶)

A = 2¹ + 2² + 2³ + ................ + 2¹²⁰

Chứng minh chia hết cho 7

A = 2¹ + 2² + 2³ + ................ + 2¹²⁰

A = (2¹ + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ................ + (2¹¹⁸ + 2¹¹⁹ + 2¹²⁰)

A = 2.(1 + 2 + 4) + 2⁴.(1 + 2 + 4) + ................. + 2¹¹⁸.(1 + 2 + 4)

A = 2.7 + 2⁴ . 7 + ................ + 2¹¹⁸.7

A = 7.(2 + 2⁴ + ........... + 2¹¹⁸)

Chứng minh chia hết cho 31

A = 2¹ + 2² + 2³ + ................ + 2¹²⁰ 

A = (2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵) + (2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰) + ................ + (2¹¹⁶ + 2¹¹⁷ + 2¹¹⁸ + 2¹¹⁹ + 2¹²⁰)

A = 2.(1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 2⁶.(1 + 2 +4 + 8 + 16) + ............. + 2¹¹⁶.(1 + 2 + 4 + 8 + 16)

A = 2.31 + 2⁶.31 + ....... + 2¹¹⁶ . 31

A = 31.(2 + 2⁶ + ........... + 2¹¹⁶)

a) (1+5+5²+5³+...5²⁹⁾chia hết cho 6

Đặt (1+5+5²+5³+...5²⁹) = A

\(A=\left(1+5\right)+\left(5^2+5^3\right)+\left(5^4+5^5\right)....+\left(5^{28}+5^{29}\right)\)

\(A=\left(1+5\right)+5^2\left(5+1\right)+5^4\left(5+1\right)+...+5^{28}\left(5+1\right)\)

\(A=6+5^2.6+5^4.6+...+5^{28}.6\)

Vậy A chia hết cho 6

b) (1+3+3^2+3^3+...+3^29) chia hết cho 13

Đặt B= (1+3+3^2+3^3+...+3^29)

\(B=\left(1+3+3^2\right)+\left(3^3+3^4+3^5\right)+...+\left(3^{27}+3^{28}+3^{29}\right)\)

\(B=13+3^3\left(1+3+3^2\right)+....+3^{27}\left(1+3+3^2\right)\)

\(B=13+3^3.13+....+3^{27}.13\)

Vậy B chia hết 13

Câu c,d tương tự.Chúc bạn học tốt

Ta có: \(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2=n^2+6n+9-n^2+2n-1\)

\(=8n+8=8.\left(n+1\right)⋮8\)

Vậy \(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2⋮8\)

\(x^3=x^3-1+1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+1\)

\(\Rightarrow x^3\equiv1\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)

\(\Rightarrow P\left(x^3\right)\equiv P\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\) 

Và \(xQ\left(x^3\right)\equiv xQ\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)

\(\Rightarrow P\left(x^3\right)+xQ\left(x^3\right)\equiv P\left(1\right)+xQ\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)  với mọi x nguyên

\(\Rightarrow P\left(1\right)+x.Q\left(1\right)\) chia hết \(x^2+x+1\) với mọi x nguyên

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(P\left(1\right)=Q\left(1\right)=0\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)\) có nghiệm \(x=1\) hay \(P\left(x\right)\) chia hết cho \(x-1\)