thoi du roi

a) Xét ΔABC có \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(gt)

nên ΔABC cân tại A(Định lí đảo của tam giác cân)

Suy ra: AB=AC(Hai cạnh bên)

mà \(AM=MB=\dfrac{AB}{2}\)(M là trung điểm của AB)

và \(AN=NC=\dfrac{AC}{2}\)(N là trung điểm của AC)

nên AM=MB=AN=NC

Xét ΔANB và ΔAMC có 

AN=AM(cmt)

\(\widehat{BAN}\) chung

AB=AC(cmt)

Do đó: ΔANB=ΔAMC(c-g-c)

b) Xét ΔMBC và ΔNCB có

MB=NC(cmt)

MC=NB(ΔANB=ΔAMC)

BC chung

Do đó: ΔMBC=ΔNCB(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{MCB}=\widehat{NBC}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{GBC}=\widehat{GCB}\)

Xét ΔGBC có \(\widehat{GBC}=\widehat{GCB}\)(cmt)

nên ΔGBC cân tại G(Định lí đảo của tam giác cân)

Ta có: AB=AC(cmt)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: GB=GC(ΔGBC cân tại G)

nên G nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AG là đường trung trực của BC

hay AG\(\perp\)BC(Đpcm)

xét ΔABH và ΔACH có:

\(\widehat{ACB}\)=\(\widehat{ABC}\)(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAH}\)=\(\widehat{CAH}\)(AH là tia phân giác của\(\widehat{BAC}\))

AB=AC(ΔABC cân tại A)

⇒ΔABH=ΔACH(g-c-g)

xét ΔABM và ΔCEM có:

\(\widehat{AMB}\)=\(\widehat{EMC}\)(2 góc đối đỉnh)

AM=MC(M là trung điểm của AC)

BM=ME(giả thuyết)

⇒ΔABM=ΔCEM(c-g-c)

⇒\(\widehat{BAM}\)=\(\widehat{MCE}\)(2 góc tương ứng)

⇒CE//AB(điều phải chứng minh)

⇒\(\widehat{BAH}\)=\(\widehat{CKH}\)(2 góc sole trong)₍₁₎

Mà \(\widehat{BAH}\)=\(\widehat{CAH}\)(AH là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))₍₂₎

Từ (1) và (2) ⇒\(\widehat{CAH}\)=\(\widehat{CKH}\)

⇒ΔACK cân tại C(điều phải chứng minh)

vì AH là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

Mà ΔABC cân tại A

⇒AH là đường trung tuyến

Mặc khác M là trung điểm của AC nên BM là đường trung tuyến

Mà G là giao điểm của BM và AH 

⇒G là trọng tâm của ΔABC

xét ΔABH và ΔKCH có:

BH=CH(AH là đường trung tuyến)

\(\widehat{ABH}\)=\(\widehat{KCH}\)(2 góc sole trong)

\(\widehat{AHB}\)=\(\widehat{KHC}\)=\(90^o\)

⇒ΔABH=ΔKCH(g-c-g)

Mà ΔABH=ΔACH

⇒ΔKCH=ΔACH

xét ΔAHC có:

AH+HC>AC(bất đẳng thức tam giác) 

Mà AH=3GH; AC=CK(ΔKCH=ΔACH)

⇒3GH+HC>CK(điều phải chứng minh)