Ta áp dụng Cauchy 2 số

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\cdot2abcd\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

Dấu = khi \(\begin{cases}a^4=b^4\\c^4=d^4\\a^2b^2=c^2d^2\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=c=d\)

Nhanh hơn có thể dùng Cauchy 4 số 

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\cdot\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

Dấu = khi các biến bằng nhau

\(\Leftrightarrow a=b=c=d\)

b, Ta có \(m=a+b+c\)

          \(\Rightarrow am+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=a\left(a+b\right)+ac+bc=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

CMTT \(bm+ac=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\);\(cm+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

Suy ra \(\left(am+bc\right)\left(bm+ac\right)\left(cm+ab\right)=\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2\)

Ta có:\(a^4;b^4;c^4;d^4\ge0;\forall a;b;c;d\)

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}\)

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\) ( đfcm )

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=d

Vậy a=b=c=d

a4+b4+c4+d2>4abed

bài này cũng có thể giải bằng cauchy 2 số

a^4+b^4+c^4+d^4≥2a^2b^2+2c^2d^2

<=>a^4+b^4+c^4+d^4≥2(a^2b^2+c^2d^2)

<=>a^4+b^4+c^4+d^4≥2.2abcd

<=>a^4+b^4+c^4+d^4≥4abcd

dấu "=" xảy ra khi {a^4=b^4;c^4=d^4;a^2b^2=c^2d^2 =>a=b=c=d

( dấu ^ là nâng lên lũy thừa nhiên bạn )

Huỳnh Minh Quý lm đúng òi đó

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho những số không âm, ta được: 

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\cdot\sqrt[4]{a^4\cdot b^4\cdot c^4\cdot d^4}=4abcd\)

Dấu '=' xảy ra khi a=b=c=d

hay tứ giác ABCD là hình thoi