1. Đặt x = √2.cosα và y = √2.sinα (với α trên [0,3π/2]) 
Ta có: P = 4√2(sinα + cosα)(1 - sinαcosα) - 6sinαcosα 
Đặt t = sinα + cosα = √2.sin(α + π/4) có |t| ≤ √2, nên sinαcosα = (t^2 - 1)/2 
suy ra P = -2√2.t^3 - 3t^2 + 6√2.t + 3. 
Đến đây bạn áp dụng P' = 0 rồi xét các gtrị cực trị. 

2. Đặt x = cosα và y = sinα (với α trên [0,3π/2]) 
Biến đổi P = (6sin2α + cos2α + 1) / (3 + sin 2α - cos 2α) 
Mặt khác lại có (cos2α)^2 + (sin 2α)^2 = 1. 
Ta áp dụng P' = 0 tiếp.

a Tách \(M=2+\frac{4xy}{x^2+2xy+y^2}=2+\frac{4xy}{\left(x+y\right)^2}\le2+1=3\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y và x+y=2015 <=>x=y=2015/2
b,:\(N\ge\frac{\left(1+\frac{2015}{x}+1+\frac{2015}{y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+2015\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right)^2}{2}\)
áp dunngj svac =>\(N\ge\frac{\left(2+2015\left(\frac{\left(1+1\right)^2}{x+y}\right)\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{2015.4}{2015}\right)^2}{2}=18\)
dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y và x+y=2015 <=>x=y=2015/2

Cảm ơn bn nha :))

@ mình rep lúc 12h mà trả lời lúc 11h :))

Lời giải:

Nếu $y=0$ thì $x^2=1$. Khi đó $P=2$

Nếu $y\neq 0$. Đặt $\frac{x}{y}=t$ thì:

$P=\frac{2(x^2+6xy)}{x^2+2xy+3y^2}=\frac{2(t^2+6t)}{t^2+2t+3}$

$P(t^2+2t+3)=2t^2+12t$

$t^2(P-2)+2(P-6)t+3P=0$

$\Delta'=(P-6)^2-3P(P-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (P-3)(P+6)\leq 0$

$\Leftrightarrow -6\leq P\leq 3$ nên $P_{\max}=3$
Vậy $P_{\max}=3$
Giá trị này đạt tại $(x,y)=(\frac{3}{\sqrt{10}}; \frac{1}{\sqrt{10}})$ hoặc $(\frac{-3}{\sqrt{10}}; \frac{-1}{\sqrt{10}})$

\(P=\dfrac{4x^2+2xy-\left(x^2+y^2\right)}{2xy-2y^2+3\left(x^2+y^2\right)}=\dfrac{3x^2+2xy-y^2}{3x^2+2xy+y^2}\)

Biểu thức này không tồn tại max mà chỉ tồn tại min

\(P=\dfrac{-2\left(3x^2+2xy+y^2\right)+9x^2+6xy+y^2}{3x^2+2xy+y^2}=-2+\dfrac{\left(3x+y\right)^2}{2x^2+\left(x+y\right)^2}\ge-2\)

Bạn coi lại mẫu số

\(a)\) Có \(2012=x+y\ge2\sqrt{xy}\)\(\Leftrightarrow\)\(xy\le1006^2\)

\(B=\frac{2x^2+8xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{2\left(x^2+2xy+y^2\right)}{x^2+2xy+y^2}+\frac{4xy}{x^2+2xy+y^2}=2+\frac{4xy}{\left(x+y\right)^2}\)

\(\le2+\frac{4.1006^2}{2012^2}=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1006\)

\(b)\) \(C=\left(1+\frac{2012}{x}\right)^2+\left(1+\frac{2012}{y}\right)^2\ge\left[2+2012\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right]^2\ge\left(2+\frac{2012.4}{x+y}\right)^2\)

\(=\left(2+\frac{2012.4}{2012}\right)^2=36\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1006\)

... 

cảm ơn bạn nhiều

bạn ơi, mik học \(A^2+B^2\ge\left(A+B\right)^2d\text{ấu}"="\) xảy ra <=> \(A.B\ge0\) mà bạn?

pt \(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2+7\left(x+y\right)+\frac{49}{4}=-y^2+\frac{49}{4}-10\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+\frac{7}{2}\right)^2=-y^2+\frac{9}{4}\le\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{-3}{2}\le x+y+\frac{7}{2}\le\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(-4\le x+y+1\le-1\)

Dấu "=" tự xét nhé