Question

Cho x,y e R t/m x²+y²=1.

Tìm max \(P=\dfrac{2\left(x^2+6xy\right)}{1+2xy+2y^2}\)

Answer 1

Lời giải:

Nếu $y=0$ thì $x^2=1$. Khi đó $P=2$

Nếu $y\neq 0$. Đặt $\frac{x}{y}=t$ thì:

$P=\frac{2(x^2+6xy)}{x^2+2xy+3y^2}=\frac{2(t^2+6t)}{t^2+2t+3}$

$P(t^2+2t+3)=2t^2+12t$

$t^2(P-2)+2(P-6)t+3P=0$

$\Delta'=(P-6)^2-3P(P-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (P-3)(P+6)\leq 0$

$\Leftrightarrow -6\leq P\leq 3$ nên $P_{\max}=3$
Vậy $P_{\max}=3$
Giá trị này đạt tại $(x,y)=(\frac{3}{\sqrt{10}}; \frac{1}{\sqrt{10}})$ hoặc $(\frac{-3}{\sqrt{10}}; \frac{-1}{\sqrt{10}})$