Lời giải:

Từ $M$ kẻ \(MG\parallel AB(G\in EC)\)

Áp dụng định lý Thales:

\(\frac{BC}{MC}=\frac{EB}{GM}\) và \(\frac{MI}{AI}=\frac{GM}{AE}\)

Nhân hai biểu thức với nhau:

\(\frac{BC}{MC}.\frac{MI}{AI}=\frac{EB}{AE}\)

\(\Leftrightarrow \frac{EB}{AE}=2.1=2\)

\(\Leftrightarrow \frac{BE}{AB}=\frac{2}{3}\)

Do đó:\(\frac{S_{CEB}}{S_{ABC}}=\frac{EB}{AB}=\frac{2}{3}\Rightarrow S_{CEB}=\frac{2}{3}.36=24\)

\(\frac{S_{BFC}}{S_{BEC}}=\frac{BF}{BE}=\frac{1}{2}\Rightarrow S_{BFC}=\frac{1}{2}S_{BEC}=12\) (mét vuông)

Ta có F,M lần lượt là trung điểm  của BC và BE nên FM là đường trung bình của tg BEC

=> FM//EC

Có I là trung điểm của AM và FM//EC nên E là trung điểm của FA

Vì vậy BF = FE = EA hay \(BF=\frac{1}{3}AB\)

\(\Rightarrow S_{\Delta BFC}=\frac{1}{3}S_{\Delta ABC}=12cm^2\)

FM là đường trung bình của \(\Delta BEC\Rightarrow FM//EC\)

\(\Delta AFM\) có I là trung điểm của AM và EI // FM nên E là trung điểm của AF \(\Rightarrow AE=EF\)

Mà EF = FB \(\Rightarrow AE=EF=FB=\frac{1}{3}AB\)

Tam giác BFC và BAC có chung chiều cao hạ từ đỉnh C và \(FB=\frac{1}{3}AB\Rightarrow S_{BFC}=\frac{1}{3}S_{BAC}=\frac{1}{3}.36=12\left(cm^2\right)\)

\(\)

Do ME là đường trung bình của tam giác BDC nên \(ME//DC\)

Mặt khác I là trung điểm của AM;\(DI//EM\Rightarrow DE=DA\)

Mà  \(ME=ED\) vì E trung điểm.

Vậy \(AD=DE=EB\)

Bổ sung chút cho bài của bạn Cood Kid

Gọi E là trung điểm BD

Xét tam giác BCD có M là trung điểm BC, E là trung điểm BD

=> ME là đường trung bình của tam giác BCD.

Vì DI = IE (cmt) nên MI là đường trung tuyến của tam giác MDE.

ΔMDE vuông (vì MD, ME là tia phân giác của góc kề bù) nên MI = DI = IE

Đặt DI = MI = x, ta có D I B M = A I A M (cmt) nên  x 15 = 10 − x 10

Từ đó x = 6 suy ra DE = 12cm

Đáp án: D