p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4

=p^4n.2+3.p⁴ⁿ-4

=(p⁴ⁿ)²+3.p⁴ⁿ-4

=p⁴ⁿ.p⁴ⁿ+3.p⁴ⁿ-4

=p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4

Vì p là số nguyên tố, p>5, nên:

p ko chia hết cho 5. p chia cho 5 dư 1,2,3,4.

Mà p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 => p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 chia 5 dư 4.

=> p chia 5 dư 4 => p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 chia hết cho 5.

=> p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4 chia hết cho 5.

=>ĐPCM.

Ta thấy các số nguyên tố lớn hơn 5 nâng lên lũy thừa có số mũ chia hết cho 4 thì có tận cùng là 1.

VD:7⁴=2401;11⁸=214358881,...

=>Ta có:

p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4

=(...1)+3.(...1)-4

=(...1)+(...3)-4

=(...4)-4

=(...0) chia hết cho 5 

Vậy p là số nguyên tố lớn hơn 5 thì p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4 chia hết cho 5

Ta có: 

p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4

=p^4n.2+3.p⁴ⁿ-4

=(p⁴ⁿ)²+3.p⁴ⁿ-4

=p⁴ⁿ.p⁴ⁿ+3.p⁴ⁿ-4

=p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4

Vì p là số nguyên tố, p>5, nên:

p ko chia hết cho 5. p chia cho 5 dư 1,2,3,4.

Mà p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 => p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 chia 5 dư 4.

=> p chia 5 dư 4 => p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 chia hết cho 5.

=> p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4 chia hết cho 5.

=>ĐPCM.

Ta thấy các số nguyên tố lớn hơn 5 nâng lên lũy thừa có số mũ chia hết cho 4 thì có tận cùng là 1.

VD:7⁴=2401;11⁸=214358881,...

=>Ta có:

p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4

=(...1)+3.(...1)-4

=(...1)+(...3)-4

=(...4)-4

=(...0) chia hết cho 5 

Vậy p là số nguyên tố lớn hơn 5 thì p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4 chia hết cho 5

trần thùy dung thông minh wá

p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4

=p^4n.2+3.p⁴ⁿ-4

=(p⁴ⁿ)²+3.p⁴ⁿ-4

=p⁴ⁿ.p⁴ⁿ+3.p⁴ⁿ-4

=p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4

Vì p là số nguyên tố, p>5, nên:

p ko chia hết cho 5. p chia cho 5 dư 1,2,3,4.

Mà p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 => p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 chia 5 dư 4.

=> p chia 5 dư 4 => p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 chia hết cho 5.

=> p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4 chia hết cho 5.

=>ĐPCM.

Lời giải:

Phân tích:

\(p^{8n}+3p^{4n}-4=p^{8n}-p^{4n}+4p^{4n}-4\)

\(=p^{4n}(p^{4n}-1)+4(p^{4n}-1)\)

\(=(p^{4n}+4)(p^{4n}-1)\)

\(=(p^{4n}+4)(p^{2n}-1)(p^{2n}+1)\)

Ta biết tính chất quen thuộc rằng một số chính phương chia $5$ được dư có thể là $0,1,4$

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $5$ nên $p^n$ không chia hết cho $5$. Do đó \((p^n)^2=p^{2n}\) chia $5$ dư $1$ hoặc $4$

Nếu $p^{2n}$ chia $5$ dư $1$ thì \(p^{2n}-1\vdots 5\Rightarrow p^{8n}+3p^{4n}-4\vdots 5\)

Nếu $p^{2n}$ chia $5$ dư $4$ thì \(p^{2n}+1\vdots 5\Rightarrow p^{8n}+3p^{4n}-4\vdots 5\)

Vậy \(p^{8n}+3p^{4n}-4\) luôn chia hết cho $5$ với mọi $p>5$

BÀi 4 :VÌ p và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên p không chia hết cho 5 

Ta có P⁸ⁿ+3P⁴ⁿ-4 = p⁴ⁿ(p⁴ⁿ+3) -4 

Vì 1 số không chia hết cho 5 khi nâng lên lũy thừa 4n sẽ có số dư khi chia cho 5 là 1 

( cách chứng minh là đồng dư hay tìm chữ số tận cùng )

suy ra : P⁴ⁿ(P⁴ⁿ+3) -4 đồng dư với 1\(\times\)(1+3) -4 = 0 ( mod3) hay A chia hết cho 5

Bài 5

Ta xét :

Nếu p =3 thì dễ thấy 4P+1=9 là hợp số (1)

Nếu p\(\ne\)3 ; vì 2p+1 là số nguyên tố nên p không thể chia 3 dư 1 ( vì nếu p chia 3 duw1 thì 2p+1 chia hết cho 3 và 2p+1 lớn hơn 3 nên sẽ là hợp số trái với đề bài)

suy ra p có dạng 3k+2 ; 4p+1=4(3k+2)+1=12k+9 chia hết cho 3 và 4p+1 lớn hơn 3 nên là 1 hợp số (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4p+1 là hợp số 

bt trên sẽ là  (a⁴ⁿ)² + 3 . a⁴ⁿ  - 4 = (a⁴ⁿ)² + 4. a⁴ⁿ - a⁴ⁿ -4 = ( a⁴ⁿ + 4)(a⁴ⁿ -1)

mặt khác vì a là số tự nhiên , a không chia hết cho 5

=> a⁴ⁿ = (a²ⁿ)²  là số chính phương chia 5 dư 1 hoặc 4 (vì scp chia 5 dư 0,1,4 - bạn có thể chứng minh = cách xét 1 số x nào đó có số dư cho 5 là 0,1,2,3,4 , đăt dạng của nó (VD như 5k+1 chẳng hạn ) rồi bp lên đc scp của nó để tìm số dư của scp đó cho 5 theo cách tổng quát nhất)

 nếu a⁴ⁿ chia 5 dư 1 => a⁴ⁿ -1 chia hết cho 5 => bt chia hết cho 5

nếu a⁴ⁿ chia 5 dư 4 => a⁴ⁿ -4 chia hết cho 5 => bt chia hết cho 5

 Vậy bt trên chia hết cho 5

mình chỉ biết bài 4 thôi
Bài 4: Vì tổng bằng 1012 nên trong 3 số nguyên tố đó thì phải có 1 số nguyên tố là số chẵn. Nên số chẵn đó là 2 đồng thời là số nhỏ nhất. Vậy số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó