Question

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng: p⁸ⁿ + 3.p⁴ⁿ - 4 chia hết cho 5.

Answer 1

p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4

=p^4n.2+3.p⁴ⁿ-4

=(p⁴ⁿ)²+3.p⁴ⁿ-4

=p⁴ⁿ.p⁴ⁿ+3.p⁴ⁿ-4

=p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4

Vì p là số nguyên tố, p>5, nên:

p ko chia hết cho 5. p chia cho 5 dư 1,2,3,4.

Mà p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 => p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 chia 5 dư 4.

=> p chia 5 dư 4 => p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 chia hết cho 5.

=> p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4 chia hết cho 5.

=>ĐPCM.

Answer 2

Lời giải:

Phân tích:

\(p^{8n}+3p^{4n}-4=p^{8n}-p^{4n}+4p^{4n}-4\)

\(=p^{4n}(p^{4n}-1)+4(p^{4n}-1)\)

\(=(p^{4n}+4)(p^{4n}-1)\)

\(=(p^{4n}+4)(p^{2n}-1)(p^{2n}+1)\)

Ta biết tính chất quen thuộc rằng một số chính phương chia $5$ được dư có thể là $0,1,4$

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $5$ nên $p^n$ không chia hết cho $5$. Do đó \((p^n)^2=p^{2n}\) chia $5$ dư $1$ hoặc $4$

Nếu $p^{2n}$ chia $5$ dư $1$ thì \(p^{2n}-1\vdots 5\Rightarrow p^{8n}+3p^{4n}-4\vdots 5\)

Nếu $p^{2n}$ chia $5$ dư $4$ thì \(p^{2n}+1\vdots 5\Rightarrow p^{8n}+3p^{4n}-4\vdots 5\)

Vậy \(p^{8n}+3p^{4n}-4\) luôn chia hết cho $5$ với mọi $p>5$