Question

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng: \(A=p^{8n}+23p^{4n}+16\) chia hết cho 5.

Answer 1

Lời giải:

Với $p$ là số nguyên tố không chia hết cho $5$ thì $(p,5)=1$

Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có:

\(p^{5-1}\equiv 1\pmod 5\)

\(\Leftrightarrow p^4\equiv 1\pmod 5\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p^{4n}\equiv 1^n\equiv 1\pmod 5\\ p^{8n}\equiv 1^{2n}\equiv 1\pmod 5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=p^{8n}+23.p^{4n}+16\equiv 1+23.1+16\pmod 5\)

\(\Leftrightarrow A\equiv 40\equiv 0\pmod 5\)

Vậy $A$ chia hết cho $5$