Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng phương pháp Chứng minh bằng Quy nạp (Mathematical Induction). Bước 1: Ta chứng minh bất đẳng thức này đúng với trường hợp a, b, c không giống nhau. - Giả sử a = b. Khi đó, a = b = (3 - 2a) / 2. Thầy vào bất đẳng thức cần chứng minh, ta có: abc(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) = a^2c(1+a^2)^2(1+c^2) Đặt x = a^2, y = c. Ta cần chứng minh: xy(1+x)^2(1+y^2) ≤ 8 Từ điều kiện a + b + c = 3, ta có: a + b = 3 - c ab = (a + b) ^2 - (a^2 + b^2) = (3 - c)^2 - (a^2 + b^2) = (3 - c)^2 - (3 - 2c) = c^2 - 3c + 6 Because a and b are test of method t^2 - (3 - c)t + (c^2 - 3c + 6) = 0 thuộc các nguyên nên theo Định lí Viết a^2 + b^2 = (3 - c)c^2 - 3(c^2 - 3c + 6) = -2c^3 + 9c^2 - 9c + 18 Ta lại có abc = ac(3 - a - c) = c(3c^2 - ac - c^2) = c(-2c^3 + 9c^2 - 9c) Nên bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: (x*3)^2(1 + x)(1 + y) ≤ 8 Hay (x*3)^2(1 + x)(1 + y) ≤ 8 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM hai lần, ta có: (x*3)^2 (1 + x)(1 + y) ≤ [(x*3)^2 + (1 + x) + (1 + y)] / 3 = [9x^2 + 2x + 2 + y] / 3 = ( 9x^2 + 2x + 2 + y) / 3 = (9x^2 + y^2 + 2x + 2) / 3 Tiếp tục áp dụng Bất đẳng thức AM-GM, ta được: (9x^2 + y^2 + 2x + 2)/3 ≥ 4√[(9x^2)(y^2)(2x)(2)] = 4√[36x^3y^2] = 24xy√x Khi đó, ta cần chứng minh: 24xy√x ≤ 8 <=> 3xy√x ≤ 1 <=> 27x^3y^2 ≤ 1 Từ a + b + c = 3, ta có: (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^ 2 + c^2a + ca^2) + 6abc Thầy a + b + c = 3 và abc = ac(3 - a - c) = c(3c^2 - ac - c^2) = c(-2c^ 3 + 9c^2 - 9c), ta có: 27x^3y^2 ≤ 1 Vì vậy, ta đã chứng minh được khi a=b, bất đẳng thức cần chứng minh là đúng. Bước 2: Giả sử a, b, c không giống nhau. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này đúng với

thử bài bất :D 

Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)

Hoàn toàn tương tự: 

\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)

\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)

Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:

\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)

Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )

Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D 

Cần gấp ko bạn

Nếu gấp thì sang web khác thử

\(\Sigma\frac{a^3+1}{b^3+c^3+1}=(\frac{-\left(a+b\right)\left(c^3+1\right)}{ab\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+1\right)}+\frac{\Sigma\left(a+b\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}+2\left(a+b+c\right)\)

\(+\frac{\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}\right)}{\left(a+b+c\right)^2+3\left(a+b+c\right)+9}+\frac{\Sigma\left(a-b\right)^2}{a+b+c})\left(a-b\right)^2+2\ge2\)

justforfun:) 

1. Đề thiếu

2. BĐT cần chứng minh tương đương:

\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Ta có:

\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)

3.

Ta có:

\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)

\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

Lại có:

\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)

\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)

4.

Ta có:

\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

5.

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)

Câu 1:

\(VT=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)

\(VT=1-\dfrac{1}{n}< 1\) (đpcm)