abba = 1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b

         = 11(91a + 10b) ⋮ 11.

Ta có: aaa = 100.a + 10.a + a = (100 + 10 + 1).a = 111.a = 3.37.a ⋮ 37 (điều phải chứng minh)

aaabbb = 333777 

Ta có ababab = 10101 x ab mà 10101 chia hết cho 1443 (10101=1443 x 70) nên 1443 là ước của số có dạng ababab.

ababab = 10101 . ab  =  1443 . 7 .ab  nên 1443 là ước của số có dạng ababab

a) Ta có 111 chia hết cho 37 mà các số dạng aaa khi nào cũng chia hết cho 111 ⇒ Các số có dạng aaa luôn chia hết cho 37 (ĐPCM)

b) Ta có ab-ba=a.10+b-b.10-a=9.a-9.b=9.(a-b)

      Vì 9 chia hết cho 9 ⇒ 9.(a-b) chia hết cho 9 ⇒ ab-ba bao giờ cũng chia hết cho 9 (ĐPCM)

c) Ta có 2 trường hợp n có hạng 2k hoặc 2k+1

+) Nếu n= 2k thì n+6 chia hết cho 2 ⇒ (n+3)(n+6) chia hết cho 2

+) Nếu n= 2k+1 thì n+3 chia hết cho 2 ⇒ (n+3)(n+6) chia hết cho 2

 ⇒ (n+3)(n+6) chia hết cho 2 với mọi n là số tự nhiên

a) \(\overline{aaa}=100a+10a+a=111a\)

mà \(111=37.3⋮37\)

\(\Rightarrow\overline{aaa}⋮37\left(dpcm\right)\)

b) \(\overline{ab}-\overline{ba}=10a+b-10b-a=9a-9b=9\left(a-b\right)⋮9\left(a\ge b\right)\)

\(\Rightarrow dpcm\)

TL :

aaa = a . 111

Ta có : 

111 = 3 . 37

=> aaa = a . 111 = a . 3 . 37

=> aaa luôn chi hết cho 37

Vậy số có dạng aaa luôn chia hết cho 37

                                                     Gọi ƯC(a+1;3a+4)=d(d thuộc Z; d khác 0) 
                                  => a+1 chia hết cho d => 3(a+1) chia hết cho d => 3a+3 chia hết cho d
                                       và 3a+4 chia hết cho d 
                                  Suy ra (3a+4)-(3a+3) chia hết cho d
                                         => 3a+4-31-3 chia hết cho d
                                         =>(3a-3a)+(4-3) chia hết cho d
                                         =>1 chia hết cho d
                                         => d = 1 hoặc d=-1
                                      => ƯC(a+1;3a+4)= cộng trừ 1 
                                           Vậy a+1/3a+4 là phân số tối giản
Nếu bạn hiểu thì k cho mình nha :))