\(\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\)

\(=\sqrt{6}+\sqrt{2}\)

Ta có: \(\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2=8+4\sqrt{3}\)

Và: \(\left(\sqrt{3}+2\right)^2=7+4\sqrt{3}\)

Ta thấy: \(8+4\sqrt{3}>7+4\sqrt{3}\)

Hay: \(\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)>\sqrt{3}+2\) (đpcm)

=????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

CM bđt theo phương pháp tương đương:

Ta có: \(\sqrt{14}-\sqrt{13}< 2\sqrt{3}-\sqrt{11}\)

<=> \(\sqrt{14}+\sqrt{11}< \sqrt{12}+\sqrt{13}\)

<=> \(14+11+2\sqrt{14.11}< 12+13+2\sqrt{12.13}\)

<=> \(\sqrt{14.11}< \sqrt{12.13}\)

<=> \(14.11< 12.13\)

Ta có: 14.11 = 12.11 + 2.11 = 12.13 - 2.12 + 2.11 = 12.13 - 2(12 - 11) = 12.13 - 2 < 12.13

=> 14.11 < 12.13 (luôn đúng)

=> \(\sqrt{14}-\sqrt{13}< 2\sqrt{3}-\sqrt{11}\)(luôn đúng)

ko dùng máy tính sao làm

thank you so much

👫👫😂😂😂😂

làm hộ  minh điiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương, ta có :

\(\log_23+\log_32>2\sqrt{\log_23.\log_32}=2\sqrt{1}=2\)

Không xảy ra dấu "=" vì \(\log_23\ne\log_32\)

Mặt khác, ta lại có :

\(\log_23+\log_32<\frac{5}{2}\Leftrightarrow\log_23+\frac{1}{\log_23}-\frac{5}{2}<0\)

                             \(\Leftrightarrow2\log^2_23-5\log_23+2<0\)

                            \(\Leftrightarrow\left(\log_23-1\right)\left(\log_23-2\right)<0\) (*)

Hơn nữa, \(2\log_23>2\log_22>1\) nên \(2\log_23-1>0\)

Mà \(\log_23<\log_24=2\Rightarrow\log_23-2<0\)

Từ đó suy ra (*) luôn đúng. Vậy \(2<\log_23+\log_32<\frac{5}{2}\)

b) Vì \(a,b\ge1\) nên \(\ln a,\ln b,\ln\frac{a+b}{2}\) không âm. 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

\(\ln a+\ln b\ge2\sqrt{\ln a.\ln b}\)

Suy ra 

\(2\left(\ln a+\ln b\right)\ge\ln a+\ln b+2\sqrt{\ln a\ln b}=\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\)

Mặt khác :

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{2}\left(\ln a+\ln b\right)\)

Từ đó ta thu được :

\(\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{4}\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\)

hay \(\frac{\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}}{2}\le\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}\)

c) Ta chứng minh bài toán tổng quát :

\(\log_n\left(n+1\right)>\log_{n+1}\left(n+2\right)\) với mọi n >1

Thật vậy, 

\(\left(n+1\right)^2=n\left(n+2\right)+1>n\left(n+2\right)>1\) 

suy ra :

\(\log_{\left(n+1\right)^2}n\left(n+2\right)<1\Leftrightarrow\frac{1}{2}\log_{n+1}n\left(n+2\right)<1\)

                                  \(\Leftrightarrow\log_{n+1}n+\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)<2\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(2>\log_{\left(n+1\right)}n+\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)>2\sqrt{\log_{\left(n+1\right)}n.\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)}\)

Do đó ta có :

\(1>\log_{\left(n+1\right)}n.\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)\) và \(\log_n\left(n+1>\right)\log_{\left(n+1\right)}\left(n+2\right)\) với mọi n>1

Mình học lớp 6 nên chẳng may có gì sai bạn(chị anh) sửa giúp em nhé:

Ta có:

\(\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\right)^2< \left(2\sqrt{n}\right)^2\) (bình phương cả 2 vế)

=> \(2n+2\sqrt{n^2-a^2}< 4n\)

=>\(2\sqrt{n^2-a^2}< 2n\)

=>\(\sqrt{n^2-a^2}< n\)

=>n² - a² < n² (bình phương cả 2 vế)

Vì |a|>0

=>a² > 0

=> n²-a² < n² 

Vậy \(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}< 2\sqrt{n}\)

câu b làm tương tự nhé: