giá trị nhỏ nhất là 0

vì giá trị tuyệt đối luôn lớn hơn hoặc bằng 0

dấu bằng xảy ra khi

x - 2013 = 0

x-2014=0

x-2015=0

vậy không có giá trị của x thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Gọi biểu thức trên là A

Ta thấy 

A=/x-2013/+/2014-x/+/x-2015/ sẽ lớn hơn hoặc bằng:

/x-2013+2014-x/=/1/=1

Min A=1

GTNN của biểu thức là 2 khi và chỉ khi x=2014

Áp dụng bđt  \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\forall a;b\) Ta có :

\(\left|x-2013\right|+\left|x-2015\right|=\left|2013-x\right|+\left|x-2015\right|\ge\left|2013-x+x-2015\right|=2\)

\(\Rightarrow A=\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|+\left|x-2015\right|\ge2+\left|x-2014\right|\ge2\)có GTNN là 2

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2013-x\right)\left(x-2015\right)\ge0\\\left|x-2014\right|=0\end{cases}\Rightarrow x=2014\left(TM\right)}\)

Vậy GTNN của A là 2 tại x = 2014

áp dụng bđt về GTTĐ /x-2013/+/x-2015/=/x-2013/+/2015-x/\(\ge\)/x-2013+2015-x/=2

mà /x-2014/\(\ge0\)

nên A\(\ge2\)

dấu = xảy ra <=>x=2014

A = I x - 2013 I + I x - 2014 I + I x - 2015 I

Để A đạt giá trị nhỏ nhất thì phải có 1 giá trị bằng 0 

Xét I x - 2013 I = 0

=> x = 2013

Vì 2013 bé hơn 2014 là 1 đơn vị và bé hơn 2015 là 2 đơn vị nên A = 1 + 2 = 3

Xét I x - 2014 I = 0 

=> x = 2014

Vì 2014 lớn hơn 2013 là 1 đơn vị và bé hơn 2015 là 1 đơn vị nên A = 1 + 1 = 2

Xét I x - 2015 I = 0

=> x = 2015

Vì 2015 lớn hơn 2013 là 2 đơn vị và lớn hơn 2014 là 1 đơn vị nên A = 2 + 1 = 3 

Vậy GTTN của A là 2 

Ta có:

\(M=\frac{x\left(yz-x^2\right)+y\left(zx-y^2\right)+z\left(xy-z^2\right)}{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}=\frac{xyz-x^3+xyz-y^3+xyz-z^3}{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}=\frac{3xyz-x^3-y^3-z^3}{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}\)

\(-M=\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}\)

Xét đẳng thức phụ:

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=\left[\left(a +b\right)^3+c^3\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)\(=\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right)-ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2-ab\right]=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-abc-ac\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\)

Thay vào -M ta có:

\(-M=\frac{\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]}{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\Rightarrow M=-\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)

Giờ thay: \(x=2014^{2015}-20142015;y=20142015-2015^{2014};z=2015^{2014}-2014^{2015}\)

Ta có:

\(M=-\frac{1}{2}\left(2014^{2015}-20142015+20142015-2015^{2014}+2015^{2014}-2014^{2015}\right)=0\)

\(C=\dfrac{2014\left(2015^2+2016\right)-2016\left(2015^2-2014\right)}{2014\left(2013^2-2012\right)-2012\left(2013^2+2014\right)}\)

\(=\dfrac{2.2014.2016+2014.2015^2-2016.2015^2}{2014.2013^2-2012.2013^2-2.2012.2014}\)

\(=\dfrac{2.\left(2015+1\right)\left(2015-1\right)-2.2015^2}{2.2013^2-2.\left(2013+1\right)\left(2013-1\right)}\)

\(=\dfrac{2.\left(2015^2-1\right)-2.2015^2}{2.2013^2-2.\left(2013^2-1\right)}=\dfrac{-2}{2}=-1\)

\(A=\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|+\left|x-2015\right|\)

\(=\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|+\left|2015-x\right|\)

\(\ge x-2013+0+2015-x=2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-2013\ge0\\x-2014=0\\x-2015\le0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2013\\x=2014\\x\le2015\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=2014\)

Vậy với \(x=2014\) thì \(A_{MIN}=2\)

Ta có :

A=|x-2013|+|x-2014|+|x-2015|

<=> A=|2013-x|+|x-2014|+|x-2015|

>hoặc =|2013-x+x+2015|+|x-2014

=|2|+|x-2015|=2+|x-2015|

=>GTNN của A =2 khi :

|x-2015|=0=>x-2015=0=>x=2015

Vậy GTNN của A=2 khi x=2015

Để mình giúp nha

\(A=|x-2013|+|x-2014|+|x-2015|\)

\(=|x-2013|+|2014-x|+2015-x|\)

\(\ge|x-2013+2015-x|+|2014-x|\)

\(\ge2+|2014-x|=2\)

Dấu '' = '' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2013\right)\left(2015-x\right)\ge0\\|2014-x|=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2013\le x\le2015\\x=2014\end{matrix}\right.\Rightarrow x=2014\)

Ta có: |x−2013|+|x−2014|+|x−2015|=|x−2013|+|x−2014|+|2015-x|=(|x−2013|+|2015-x|)+|x−2014|

Vì |x−2013|+|2015-x|\(\ge\)|x−2013+2015-x|=2

Dấu"=" xảy ra khi (x-2013)(2015-x)\(\ge0\Rightarrow2013\le x\le2015\)

|x−2014|\(\ge0\)

Dấu"=" xảy ra khi x-2014=0\(\Rightarrow x=2014\)

|x−2013|+|x−2014|+|x−2015|\(\ge\)2

Dấu"=" xảy ra khi\(\left\{{}\begin{matrix}2013\le x\le2015\\x=2014\end{matrix}\right.\Rightarrow x=2014\)

Vậy GTNN của |x−2013|+|x−2014|+|x−2015|=2 đạt được khi x=2014

Áp dụng tc dtsbn:

\(\dfrac{x}{2013}=\dfrac{y}{2014}=\dfrac{z}{2015}=\dfrac{x-z}{-2}=\dfrac{y-z}{-1}=\dfrac{x-y}{-1}\\ \Leftrightarrow\dfrac{x-z}{2}=\dfrac{y-z}{1}=\dfrac{x-y}{1}\\ \Leftrightarrow x-z=2\left(y-z\right)=2\left(x-y\right)\\ \Leftrightarrow\left(x-z\right)^3=8\left(x-y\right)^3=8\left(x-y\right)^2\left(x-y\right)=8\left(x-y\right)^2\left(y-z\right)\)

\(VT=\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{2}{x+2}+...+\dfrac{2}{x+2014}-\dfrac{2}{x+2015}\)

\(VT=\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x+2015}=\dfrac{2\left(x+2015-x\right)}{x\left(x+2015\right)}=\dfrac{4030}{x\left(x+2015\right)}\)