Đặt \(d=ƯC\left(2n+1;2n^2+2n\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\2n^2+2n⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2n+1\right)\left(2n+1\right)-2\left(2n^2+2n\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow2n+1\) và \(2n\left(n+1\right)\) nguyên tố cùng nhau hay phân số đã cho tối giản với mọi n nguyên

\(\dfrac{2n+1}{2n\left(n+1\right)}=\dfrac{2n+1}{2n^2+2n}\)

Đặt \(d=ƯC\left(2n+1;2n^2+2n\right)\)

\(\Rightarrow2n^2+2n-n\left(2n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n⋮d\)

\(\Rightarrow2n+1-2.n⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow2n+1\) và \(2n\left(n+1\right)\) nguyên tố cùng nhau hay phân số đã cho tối giản

Ai kết bạn vs mình ko mình hết lượt rồi

Goi d la UCLN(2n+1,2n(n+1)) nen tao co:

\(\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\2n\left(n+1\right)⋮d\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\n\left(2n+1\right)+n⋮d\end{matrix}\right.\)

=> n⋮d

=> 1.n⋮d => 1⋮d

=> dpcm

Trả lời;

mình cho 3 tick

Xét$12n+1=12n+24-23=12\left(n+2\right)-23$

⇒12�+12�(�+2)=12(�+2)−232�(�+2)=12(�+2)2�(�+2)−232�(�+2)=6�−232�(�+2)⇒2n(n+2)12n+1​=2n(n+2)12(n+2)−23​=2n(n+2)12(n+2)​−2n(n+2)23​=n6​−2n(n+2)23​

Xét232�(�+2)2n(n+2)23​ta có:

$2n\left(n+2\right)⋮2$

=> $2n\left(n+2\right)$là số chẵn

mà 23 là số lẻ

⇒232�(�+2)⇒2n(n+2)23​Tối giản

⇒6�−232�(�+2)⇒n6​−2n(n+2)23​tối giản

Vậy 12�+12�(�+2)2n(n+2)12n+1​Tối giản (ĐPCM)