Lời giải:

Đặt \(\underbrace{11....1}_{n}=a\) \(\Rightarrow 1\underbrace{00....0}_{n}=9a+1\Leftrightarrow 9a+1=10^n\)

\(\Rightarrow a=\frac{10^n-1}{9}\). Áp dụng công thức này vào biểu thức M:

Ta có: \(M=\underbrace{11....1}_{2015}\underbrace{2222....2}_{2015}=\underbrace{11....1}_{2015}\underbrace{00....0}_{2015}+\underbrace{22....2}_{2015}\)

\(=\frac{10^{2015}-1}{9}.10^{2015}+2.\frac{10^{2015}-1}{9}\)

\(=\frac{(10^{2015}-1)(10^{2015}+2)}{9}\)

Ta thấy \(\underbrace{11...1}_{2015}=\frac{10^{2015}-1}{9}\in\mathbb{N}\Rightarrow 10^{2015}-1\vdots 3\)

Đặt \(10^{2015}-1=3k(k\in\mathbb{N})\Rightarrow M=\frac{3k(3k+3)}{9}=k(k+1)\) là tích hai số tự nhiên liên tiếp.

Do đó ta có đpcm.

Đặt 111...1=a      ( n chữ số 1 )

=>10ⁿ=9a+1

Ta có

111...1222...2=(111...1).10ⁿ+222...2

=a(9a+1)+2a

=9a²+a+2a

=9a²+3a

=3a(3a+1)

=> DPCM

Đặt 111...1=a      ( n chữ số 1 )
=>10n=9a+1
Ta có
111...1222...2=(111...1).10n+222...2
=a(9a+1)+2a
=9a2+a+2a
=9a2+3a
=3a(3a+1)
=> DPCM

Đặt 111...11=a        (n chữ số 1)

=>10ⁿ=9a+1

=>111...1222...2=(111...1).10ⁿ+222....2

=a(9a+1)+2a

=9a²+a+2a

=9a²=3a

=3a(3a+1)

=> DPCM

a) 1122 = 11.100 + 22 = 11( 99 + 3 ) = 11( 11.9 + 3 ) = 33 ( 33 + 1 ) = 33.34

b) 111222 = 111.1000 + 222 = 111( 999 + 3 ) = 111 ( 111.9 + 3 ) = 333 ( 333 + 1 ) = 333.334

c) 111...1222...2 = 111...1 . 1000....0 + 222...22 = 111...1 ( 999...9 + 3 ) = 111...1 ( 1111...11.9 + 3 ) = 33...333 ( 333...33 + 1 ) = 333...33 . 333...34 ( số thứ nhất gồm có 50 chữ số 3, số thứ hai gồm có 49 chữ số 3 )