Lời giải:
Đặt \(\underbrace{11....1}_{n}=a\) \(\Rightarrow 1\underbrace{00....0}_{n}=9a+1\Leftrightarrow 9a+1=10^n\)
\(\Rightarrow a=\frac{10^n-1}{9}\). Áp dụng công thức này vào biểu thức M:
Ta có: \(M=\underbrace{11....1}_{2015}\underbrace{2222....2}_{2015}=\underbrace{11....1}_{2015}\underbrace{00....0}_{2015}+\underbrace{22....2}_{2015}\)
\(=\frac{10^{2015}-1}{9}.10^{2015}+2.\frac{10^{2015}-1}{9}\)
\(=\frac{(10^{2015}-1)(10^{2015}+2)}{9}\)
Ta thấy \(\underbrace{11...1}_{2015}=\frac{10^{2015}-1}{9}\in\mathbb{N}\Rightarrow 10^{2015}-1\vdots 3\)
Đặt \(10^{2015}-1=3k(k\in\mathbb{N})\Rightarrow M=\frac{3k(3k+3)}{9}=k(k+1)\) là tích hai số tự nhiên liên tiếp.
Do đó ta có đpcm.
